Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
dx
И/2? <ч?-io <<*+!/
Д Е"
-т/
| р j dx
откуда, вводя обозначение
V- ^ I
6, 6,
dx ____ I dx
получим:
I р ! <1х
§ 2] ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ барьер 91
Расстояние между верхним и нижним подуровнями равно
I р I dx
JV+ 1'
12. В области х < - b по смыслу задачи имеется только уходящая в - со
волна, т. е.
t = 7Техр(т/,,'г4
Продолжая это решение в область х > Ь, получаем следующее выражение для
волновой функции:
° ;ехр [- \ pdx X
Yp \h-h
ь
[l
- [l/,!^+^jC0s [i- | pdx] + ('f, Ы (чЛ-Ь
4-2exp U- j p\dx - iylcosl- j pdx J>-f-
x \ ( i b
IJ
+77exp(~ljp^)|^expi_lj1/?,rfJC)x
I +a \ / +a \
X cos I -jr |* /? rfx J - г sisj I j* p dx j -j-
+ 2 exp lj [ipl^xjcos f~ J pdx\).
'a ' ' -a ' J
Квазистационарные уровни определятся из условия отсутствия приходящей из
со волны.
92
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Приравнивая второй член в последнем выражении нулю, получаем:
+а
ctg
1
р dx =
i j-g exp ]
p | dx I -f- 2 exp
\p\dx\)
О
if'
a / 'a ' )
Ъ x
малой величиной, найдем, что
а '
Ч' о / Ь v
1 J pdx = n(n +4)- YexP - J
-a \ a I
откуда следует условие для определения квазистационарных
Считая ехр
Рис. 22.
уровней Е^п и их ширины Г.
§ 3] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 93
Для коэффициента прохождения получаем следующее значение:
D(E) =
I Ь . j +а , , +а 1
4ехр ^ / cos2 1 pdxJ + sin2 [тг [ pdxJ j'
При значении E, совпадающем с одним из квазиуровней, D (Е°) = 1. При | Д?
] < | Еп | имеем:
На рис. 22 изображено поведение D(E) вблизи квазиуровня.
§ 3. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ.
РАСПЛЫВАНИЕ ПАКЕТОВ
1. Рассмотрим сначала случай дискретного набора волновых функций
Средние значения операторов А и В в состоянии, характеризуемом функцией ф
(ф = 2 аг^д> равны
А = 2 ai^ilcak'
г, к
В = 2 a-iBikak.
г, к
Составим неотрицательную величину
JQ) = 2 |2 (Aik |2 (Ац а! j ^ О
(здесь X- действительный параметр).
Собирая члены с одинаковыми степенями X и пользуясь эрмитовостью
операторов Л и В (Aik=Aki,Bik=Bki), находим:
i(X) = 2 {акАыАцаг + /ХаА (AkiBu - BkiAu) аг -\-
i, к, I
+)м1вывиа1\ = I2+хс+
Здесь С - эрмитовский оператор
c = j{a8 - ba).
94 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Квадратичная форма У(Х) является неотрицательной и, таким образом,
4АгВ2'^>{с) . Замечая, что операторы ДЛ = А-А и кВ = В- В удовлетворяют
тому же соотношению коммутации, что А и В
ДЛДА -ДАДЛ==/С,
получаем:
V(LAf (ЛЯ>> Щ- •
Доказательство этого соотношения для непрерывного набора можно провести
аналогичным способом. Выражение
У(X) = J ((Л -)- ИВ) ф}'* {(А + &В) ф} dx,
где X- действительное число, является неотрицательным и может быть
преобразовано следующим образом:
У(Х) = J {(Лф)* - 0-(Щ)*} {Лф -|-/ХЯф} dx =
= J {фМ2ф-|-/Хф* (АВ - В А) ф -f- Х2ф*Б26} dx.
Действительно, в силу эрмитовости оператора Л
J (Лф*) сс dx = J ф*Awdx.
Последующая часть доказательства проводится так же, как и ранее.
2. (Д</)2 (Д/Т . U.
dJL
др
4
3. Энергия осциллятора в стационарном состоянии (Р2 | рЗ Ъ.г%
I л2 Ъх2
г ! КЛ V .! . /'чА Й V .
§ 3] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 95
ТО
(Д"а , k{hx)* 2а ' 2
т
Из соотношения неопределенностей (Ар)2 • (Дд;)2^>- следует Е> k{^)\
8;л (Ддг)а z
Выражение в правой части принимает минимальное значение при
при этом
р _Й_ -.Г k Й<о
min 2 V У - ~Т'
лГ k
где ш=у - - частота осциллятора.
4. В рассматриваемом случае можно пренебречь экранированием поля ядра
другими электронами.
Энергия /С-электрона
С. _ Р% Ze*
2(Л г '
Поскольку р~-, где г - размер области локализации
• " " т z* (1)
2 (лга г
Это выражение принимает минимальное значение при
/}2 д _g
г - = -j- = 0,529 * 10 сл* - радиус первой
орбиты
Бора).
При этом энергия
Е-------= - Z2 • 13,5 эв.
Если учесть релятивистские поправки на изменение массы, то выражение (1)
примет вид
Е> {^с4+с2Р2}-!-^-М2>
\ f 2 1 ! с2^2 11,a 2
>Kc4 + ^r)-------------------------J-------l^oc2-
96
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Отсюда находим значение энергии
?>-[i0c2{(l-a2Z2)'2-1}, где к =
ей
he
б. Пусть размер области локализации первого и второго электрона г, и
г2. Тогда импульсы электронов на основании соотношения неопределенностей
соответственно равны
Ь h
Р1 г • Рг Г >
'1 *2
так что кинетическая энергия порядка величины
Потенциальная энергия взаимодействия электронов с ядром заряда Z равна
Ze2
и энергия взаимодействия электронов между собой порядка еъ
---j---. Для того чтобы найти энергию основного состоя-
Г1 "Г г2
ния, найдем минимум полной энергии
E(r 1, г
Минимум осуществляется при значениях
№ 1
[А(?2
Z~T
Таким образом, энергия основного состояния иона с двумя электронами и
зарядом ядра Z равна
Е------=
м-
Сравнение с опытными данными показывает хорошее согласие, если принять
при этом во внимание чрезвычайную простоту расчета.
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
97
Н" Не Li + Ве + + В + + + С+ + + +
?ВЫЧ в Ry - 1,125 - 6,125 - 15,12 - 28,12 - 45,12 -
66,12
Еэесп в Ry - 1,05 - 5,807 - 14,56 - 27,31 - 44,06 -
64,8
6. Не могут.
7. р0 - среднее значение импульса частицы.
8. Для доказательства воспользуемся операторным соотношением, которое
