Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Затем разлагаем 77 (г, t) по степеням X:
Ч(г, О = По(г, О + ^,(г, О + Хгцг(г, 0 + ... , Г8.3.69)
и полагаем в конце вычислений X равным единице. Однако, вследствие того что все интегралы Фурье обрезаются на масштабе /-1, это разложение будет все еще фактически разложением по параметру (/3)~‘. Подставляя (8.3.69) в (8.3.65), находим
= (^fh)(r, О + к, + (к2 — к{)г]0(г, t) - KtfKr, t) (8.3.70)
d>h(r, t) = t) + [k2 Kj 2к4г/0(г, t)]y,(r, t))dt
+ V7 TtaVofo t) — Ktrjl(r, t)]ll2dW(r, t) (8.3.71)
Пространственно-распределенные системы 395
dtlzO", t) = {(^2)(r, t) + [к2 — тс, — 2x4tj0(r, t)]rj2(r, t) — /C4i/f(r, 0}Л [», - 2*,, (,, ,)
Уравнение (8.3.70) имеет однородное стационарное решение (8.3.64), так что
Кг — кх — 2к4щ =. к — [(/с, — ЛГ2)2 + 4/с4/с3]1/2 . (8.3.73)
Подставляя это равенство в (8.3.70 — 72) и выполняя преобразование Фурье, получаем
>h(9, О = (2лг^0)1/2 /[ехр{-[^(<72) + /c](f - t')}]dW(q, t') (8.3.74)
0
Ы9, О = -^4 J d3qx /Л'[ехр{-[^(<72) + к](/ - О}]»1М ~ ЯиПЙЛЯи О
о
+ п, К'+К ц/21 d}9l j [ехр {-[Щд2) + к](/- /')} Шч~ Ч\»t')d W(qi, /) LA^i^o — K3J о , „ „„ч
(8.3.75)
где
dW(q, t) = j ехр(—iq-r)dW{r, t)d3r (8.3.76)
Ц\{4, ,) = (^r) jexp(-iq-rfoir, t)d3r (8.3.77)
и т.д. 9{q2) является преобразованием Фурье от 9{\г — г' I). В (8.3.74, 75) мы опустили тривиальные члены, соответствующие начальным условиям.
Средняя концентрация и корреляционная функция в низшем порядке определяются в стационарном случае выражениями
<р(г, 0> = Щ (8.3.78)
(p(r, t)p(r\ ф — <р(г, Г)> <р(г\ ф = t]08(r — г')
+ Ыг, 1Ыг\ ф . (8.3.79)
Из (8.3.74) следует, что
ШЧ, t)Uq', Ф = iJfyqHc/t1 - ехр{—2[^(<?2) + к]/}]. (8.3.80)
Таким образом, вклад низшего порядка в корреляционную функцию имеет вид
(р(г)р(г') — (р(ф(р(г')) = щЦг + г')
396 Глава 8
Если положить
(8.3.82)
то
Ш{д2) = Dq1 .
(8.3.83)
Равенство (8.3.81) имеет в точности тот же вид, что и полученное ранее равенство (8.3.35), а именно
Из этого результата следуют все ранее сделанные выводы, касающиеся локальных и глобальных флуктуаций, пуассоновских и непуас-соновских флуктуаций, поскольку все эти выводы связаны с формой выражения (8.3.84), а не выбором особых значений параметров.
Заметим, что если к, = к2, то также к — 0 и, следовательно, /с — оо при к3 — 0. Таким образом, в этом примере имеют место те же явления корреляции на больших расстояниях; что и в предыдущем примере.
Поправки высшего порядка и проблемы расходимости. Только результаты низшего порядка можно одинаково легко получить с помощью метода разложения по обратному размеру системы, метода Крамерса — Мойала или путем предположений о факторизации в уравнениях для корреляционных функций.
Поправкой следующего порядка к средней концентрации является <т/2(г, ?)>. Из (8.3.75) непосредственно следует
(p(r), />(/•')> s = </>)05(г - г') +
*1<Ро>
7техр(-|г-г'|//с), (8.3.84)
4nD | г — г' |
где
/е = (Д/к)1'2 •
(8.3.85)
Г
<Пг(Ч, О) = - J d3qx | dt'exр{-[Щд2) + /с](Г - Г')}
О
(8.3.86)
откуда в стационарном случае имеем
<Л2(?)> = J-
(8.3.87)
Выбирая 2) в виде (8.3.83), приходим к выражению
/„'> = - KiK^° Г
Ч/2/ (2я)3/2 J Dq2 -Ь к ’
(8.3.88)
Пространственно-распределенные системы 397
интеграл в котором расходится. Эта сложная ситуация обусловлена выбором континуальной формы, ибо если сохранить на всех стадиях дискретные ячейки, то следует:
1) заменить интеграл \d*q суммой по всем допустимым значениям q, которые меньше 1//;
2) считать 2(д2) некоторой тригонометрической функцией от q и /. При djj = d, когда ячейки с номерами / и j являются соседними, и dy — 0 в противном случае, функция S)(q2) имеет вид
7? [sin2 (т) + 5Ит) +5Ит)_-
В этом представлении никаких расходимостей не возникает, поскольку сумма по q является конечной, причем
&(q2) - Dq2
при l\q\ < 1.
Нелокальные реакции. Расходимости, однако, можно избежать и при сохранении континуальной формы, если в уравнениях видоизменить член вида ij2(r). Этот член определяется картиной столкновений в химической реакции и является нелокальным по ряду причин:
1) молекулы обладают конечным размером, хотя строго локальная форма игнорирует это обстоятельство;
2) постоянная времени, определяющая крупномасштабную временную шкалу, в которой система является марковской, такова, что молекулы за это время будут перемещаться на определенное расстояние. Продукты реакции, являющиеся обычно результатом столкновений в одних местах, образуются уже в других местах в более позднее время. Делая замёйу
