Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
f](r)2 — J d3r'd2r" т(г -г', г- г")п(г')п(г"), (8.3.89)
вместо выражения (8.3.88) находим
<8-3-90)
где m(q, q1) — фурье-образ функции т(г, г'). Если функция т достаточно нелокальная, то при больших значениях q функция т (q, — q) будет достаточно быстро спадать и выражение для <tj2> будет конечным.
398 Г лава 8
8.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛОКАЛЬНЫМ И ГЛОБАЛЬНЫМ ОПИСАНИЯМИ
В разд. 8.3.2 мы видели, что дисперсия флуктуаций в элементе объема
V является пуассоновской при малых V и приближается к дисперсии, получаемой из управляющего уравнения без диффузии для соответствующей реакции, при достаточно больших значениях V. Это происходит из-за того, что флуктуации, возникающие в химических реакциях, складываются друг с другом, в то время как диффузия, обусловливающая простое перемещение молекул из одного места в другое, эффективно влияет на флуктуации в объеме только через его поверхность.
Имеется точная теорема, которая гласит, что при достаточно большой скорости диффузии молекулы в объеме V будут быстро перемещаться и очень часто сталкиваться между собой. Следовательно, любая молекула с равной вероятностью столкнется с любой другой молекулой. Эти результаты совершенно строго доказаны и подробно изложены в работе Арнольда [8.5].
Метод доказательства основан, по существу, на технике адиабатического исключения, развитой в гл. 5, и может быть легко перенесен на случай пуассоновского представления.
8.4.1. ЯВНОЕ АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ МОД
Для химических веществ одного сорта, диффундирующих и реагирующих между собой, в рамках ячеечной модели мы можем записать в представлении Пуассона следующее уравнение Фоккера — Планка:
ЭР
dt '
Е
U
+ Е
Введем собственные векторы J) (q) матрицы DtJ, которые удовлетворяют соотношению
Е Dufj(4) = ~DX{q)fi(q). (8.4.2)
i
Точный вид собственных функций, зависящий от Dtj, не представляется для нас важным. В простейшем случае, когда перенос происходит только между соседними ячейками, а отражающие границы на стенках всей системы предполагаются одномерными, имеем
fj(q) ос cos (qlj) .
(8.4.3)
Пространственно-распределенные системы 399
Наличие отражающих границ, расстояние между которыми L = М (где / — линейный размер ячейки), накладывает следующие условия:
qz=W (п = 0, I, ...,N) (8.4.4)
и
X{q) = 4 sin2 l^-J 11* . (8.4.5)
Случай многих переменных требует соответствующих обобщений, но в основном структура собственных функций и собственных значений остается той же самой, а именно
Д°) = 0 > (8.4.6)
X(q) >0 (q Ф 0)
/¦(0) = const = N~W2. (8.4.7)
Последнее равенство соответствует однородному стационарному состоянию, причем Nl/1 — нормировочный множитель, который определяется из условий полноты и ортогональности
Е/АчШч') = Кя'.
У
ЛШШч) = s,.j ¦
(8.4.8)
Введем переменные
х(ч) = • (8.4.9)
j
Переменная, которая нас интересует, пропорциональна х (0), поскольку величина
m = N-i,^Xj (84Ш)
j
пропорциональна полному количеству вещества в системе. Другие переменные должны быть адиабатически исключены. В предвосхищении подходящего выбора операторов Lx, L2, Z,3 введем определения
y(q) = x{qWD (q Ф 0) (8.4.11)
* = x(0)/*y~N = N-1 2 Xj. (8.4.12)
j
400 Глава 8
Преобразуем теперь различные члены, входящие в уравнение Фоккера — Планка. Первый член можно записать так:
2 ^ D‘ixi i,J OXt
d ? №
dy(q)
y(q)-
(8.4.13)
Введем также
v, = E/teM?);
5*0
(8.4.14)
тогда
?^0(лг')-w? !;»(* +tb”-
+ '/DSmWMx + 7^v'\'
(8.4.15)
+^Vd?e э + dy:
dx i dy(q)
дфО
32
M,)b(x + J=v) 1
Я'уЯ* О
dy(q)dy(q’)
(8.4.16)
Запишем теперь эти выражения в виде разложения по убывающим степеням параметра D1/2. Итак, определим оператор
DLX = -D Е
q* О
-Kq)^7^y(q) + ь(х)
dy(qУ
8y(q)2
(8.4.17)
являющийся коэффициентом при D в разложении приведенных выше выражений (члены низшего порядка в операторе Ь2). Далее,
13 N д.
1ЛХ + 75”') + F-+ 7S*')
(8.4.18)
причем усреднение проводится по стационарному распределению, задаваемому оператором Lv Когда D принимает большие значения, имеем
Ьг ~ [дха(х) + N дхгНх)_ + °Ы
