Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
4) Стационарное решение управляющего уравнения Больцмана: в принятой нами форме записи управляющего уравнения Больцмана мы положили вероятности t^ kl(X) равными нулю, однако, поступая иначе, можно положить
tTj,k ,(Х) = tthkl{X) (8.5.49)
и соответственно поделить все функции R на два, поскольку теперь все столкновения учитываются дважды.
Условие детального баланса (7.5.18) выполняется тривиальным образом. Хотя мы полагали t~ (/у, kl) = 0, обратный переход на самом деле определяется вероятностью t+(kl, ij). Следовательно, при выполнении условия симметрии относительно обращения времени (8.5.38) имеем
kh, - kTi,kl = R(ij, kl). (8.5.50)
При этих условиях для среднего значения (^) в стационарном состоянии выполняется соотношение
a(v,)a(Vj) = a(vk)a(v,) . (8.5.51)
Это означает, что log [а (и,)] является аддитивной сохраняющейся величиной и должен быть функцией инвариантов (8.5.36, 37). Следовательно,
a(v) = ехр [—(и — Uy/mkT]
(8.5.52)
410 Глава 8
Здесь т — масса молекулы, a U и кТ — параметры, которые, конечно, отождествляются со средней скоростью молекул и произведением абсолютной температуры на постоянную Больцмана.
Стационарное распределение вероятностей является тогда многомерным распределением Пуассона со средними значениями, определяемыми равенством (8.5.52). При этом флуктуации числа молекул с различными скоростями некоррелированы.
8.5.4. СОВМЕСТНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОТОКА И СТОЛКНОВЕНИЙ
Совместному рассмотрению потока и процесса столкновений мешает существенное препятствие. Оно возникает из-за того, что стохастическое рассмотрение потока требует бесконечно малых ячеек, в то время как управляющее уравнение Больцмана более понятно, если ячейки имеют конечный размер. Это означает, что почти невозможно записать в явном виде точное стохастическое уравнение, если только не перейти к представлению Пуассона, как это вскоре будет сделано.
Формально записать многомерное управляющее уравнение в фазовом пространстве не трудно после учета того, что ячейки фазового пространства имеют конечный размер Х3?3. Мы просто включим в рассмотрение всевозможные переходы, т. е. переходы, приводящие к потоку в конфигурационном пространстве, потоку в пространстве скоростей и столкновениям. Результирующее управляющее уравнение включает в себя, таким образом, всевозможные переходы, указанные в (8.5.22, 23, 29) и в модифицированной форме в (8.5.34, 35). Однако имеются столкновения, происходящие внутри каждой ячейки; они определяются вероятностью перехода в единицу времени
Чи(Х) = д(г„ гу) 3(rk, г,) S(r„ rk) R(ij, kl)X,Xj . (8.5.53)
В случае конечных Х3?3 появится дополнительный стохастический эффект, возникающий из-за конечного размера ячеек, как указывалось в разд. 8.5.2. Этот эффект исчезает в пределе малых X и ?, когда перенос вследствие потока становится чисто детерминированным.
Результирующее управляющее уравнение довольно громоздкое, и мы не будем приводить его в явном виде. Работать с этим уравнением приходится в основном в рамках разложения по обратному размеру системы, или приближения Крамерса — Мойала. Точный предел, в котором это справедливо, связан с зависимостью R(ij, kl) от размера системы. Параметром размера системы в этом случае является объем Х3?3 шестимерного фазового пространства. Для того чтобы сделать детерминистическое уравнение для плотности
Дг„ р() = X(r„ V.W? (8.5.54)
Пространственно-распределенные системы 411
не зависящим от размера ячейки, функция R(ij, kl), определенная в (8.5.53), должна иметь масштаб (\3?3)4, т. е.
R(ij, kl) = т kl) WCY • (8.5.55)
Это означает, что величину R (ij, kl) можно интерпретировать как
среднюю частоту столкновений в элементе фазового объема по каждому из аргументов.
Принимая во внимание законы сохранения (8.5.36, 37), мы можем тогда написать
R(ij, kl) = Sa[(v, - и,)2, (v, - иу)-(«* “ ”;)]
х 5(vf + vj —- v\ — vj) S(v, + Vj — vk — v,) (8.5.56)
предположив, что а является функцией только от скаляров. (Тот
факт, что а является функцией только от величин (i>( — Vj)2 и (и, —
- vj)-(vk — vt), следует из теории рассеяния и основан на инвариантности уравнений по отношению к группе преобразований Галилея, т. е. вращательной инвариантности и того факта, что законы физики не зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Мы предпочитаем оставить в функции а зависимость только от скалярных произведений для упрощения выражений во флуктуационных членах.)
а) Метод Крамерса — Мойала
Заменим суммирование интегрированием в соответствии с
(^•3) ? - | d3rjd3Vj (8.5.57)
j
и сделаем следующую замену переменных:
Vj = v,
Vk = {(р + q) (8.5.58)
