Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
= j [х,_,(0 - *,(0] . (8-5-7)
т. е.
Хд,р(г„ О = - J МП - А, о - Хр(г„ О]. (8.5.8)
Стохастический вариант этого уравнения получим, рассматривая перескоки частиц из ячейки с номером / в ячейку с номером / + 1 с такими
вероятностями перехода в единицу времени:
/+(*) = кхД (8.5.9)
Г(х) = 0 .
Подобные перескоки рассматривались в разд. 7.5; введенные там обозначения (7.5.4, 5) теперь конкретизируются так:
А —¦ /
Ni- 3..J (8-5ЛО)
М) —*¦ 8t+\,j
r) ~" &J.I '
Применим разложение Крамерса — Мойала и покажем, что в пределе X — 0 все моменты исчезают, за исключением моментов первого по-
404 Глава 8
рядка. Коэффициент сноса определяется формулой (7.5.32), т. е.
Аа(х) = 2(<5„,, + i -
‘ (8.5.11)
= у (va_j - xj ,
а диффузионная матрица
Ва.ь(х) = — [(<50 ь — <50_1,ь)л:0-1 "г (<5„,ь — <5a,6-i)-vo)] • (8.5.12)
Положим теперь xt = p{rt) в соответствии с (8.5.6) и перейдем к пре-
делу малых X. Имеем
Ла(х) — -т- [лр(га — Я, г) - лр(га, г)] (8.5.13)
Л
---?.Kd,p(r,t). (8.5.14)
Подобным образом находится предельное значение матрицы Ва й(лг). Используя также
й„.ь —¦ Я 5(га — г4), (8.5.15)
получаем
ВаЛх) кЛ3дгд,,[6(г — г')р(г)] . (8.5.16)
Таким образом, в этом пределе р(/", 0 удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
dp(r, О = — + j>'ndlV(r, t), (8.5.17)
где
dW(r, t)dW(r’, t) ---= я- Л9Д/[5(г — r’)p(r, /)]. (8.5.18)
Мы видим, что в пределе X — 0 флуктуационный член в уравнении
(8.5.17) исчезает, приводя, как и предсказывалось, к детерминистическому результату.
Интересно знать, почему существует этот детерминистический предел? Это не разложение по параметру размера системы в обычном его понимании, поскольку ни числа частицу, ни вероятности перехода t+ (х) не становятся большими в пределе малых X, однако вероятность перехода отдельной частицы, находящейся в точке г:, в соседнюю ячейку все же становится в этом пределе бесконечной, так что в этом смысле движение становится детерминированным.
Читатель может также проверить, что описанный результат не зависит от размерности пространства. Поэтому мы можем найти пред-
Пространственно-распределенные системы 405
ставление потока в фазовом пространстве, которое в пределе малого размера ячейки становится эквивалентным уравнению (8.5.3).
Рассмотрим теперь полное описание потока в фазовом пространстве, включающее оба члена уравнения непрерывности. Ячейки в фазовом пространстве берутся в виде шестимерных ящиков с длиной стороны X для пространственных координат и ? — для скоростей. Мы определим плотность в фазовом пространстве через полное число молекул X в фазовой ячейке с помощью формулы
Рассмотрим переходы двух типов. Для простоты считаем, что они происходят только в направлении оси х, и определим
Мы записали равенства (8.5.23) для того, чтобы в явном виде показать, что вероятность перехода есть произведение площади торцевой поверхности ячейки (X2), числа частиц в единице объема и х-компоненты скорости, являющейся аппроксимацией скорости потока через соответствующую грань ячейки.
Следовательно, считая > 0, имеем
/(г9, Vя) = Xif, Vя).
(8.5.19)
К = (А, 0, 0).
Тип 1: Поток в конфигурационном пространстве Он описывается переходами X(r‘, v‘) — X(r‘, v‘) — 1
(8.5.20)
и в то же время
X(r‘ + Xx,-V) — X(r‘ + A*, v‘) +1 (vx .> 0)
(8.5.21)
или
(8.5.22)
(8.5.23)
= vx[X(r° - Лх, V) - X(r°, v‘)]//.
= c,3/3vx[ f{r° + A*, v“) - f(r°, v°)\!>.
-^vxfxf(r,v).
(8.5.24)
(8.5.25)
(8.5.26)
406 Глава 8
Тем же способом, что и в предыдущем примере, можно показать, что диффузионная матрица Вд h пропорциональна X и, следовательно, исчезает при X — 0.
Тип 2: Поток в пространстве скоростей Введем вектор
е, = а, о, о).
Тогда имеем
X(r\ v0 — X(r\ v') - 1,
и в то же время или
Х(г‘. с‘-Ы-Х(г!,.и‘-0 + 1
или
X{r\ v< + U - X(r‘, v1 + М+1 В данном случае А — (/, х, 2)
Ng’Л,2) = S(v\ va)S(r‘, ra)
М{‘'хЛ) = 6{v‘ — ?х, i’a)3(r‘, r“)
(8.5.27)
(Ax < 0), (AX>Q).
(8.5.28)
v°) - S(v‘, v°)]S(r‘, r°)
(8.5.29)
= ?\Ax(r‘)\X(r‘, v‘)/e = ® •
Таким образом, полагая Ax(ra) > 0, находим коэффициент сноса А„ = [X(r“, v° + ix)Ax(f) - X(r‘, v“)AJr“)}lQ (8.5.30)