Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 140

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 185 >> Следующая


= j [х,_,(0 - *,(0] . (8-5-7)

т. е.

Хд,р(г„ О = - J МП - А, о - Хр(г„ О]. (8.5.8)

Стохастический вариант этого уравнения получим, рассматривая перескоки частиц из ячейки с номером / в ячейку с номером / + 1 с такими

вероятностями перехода в единицу времени:

/+(*) = кхД (8.5.9)

Г(х) = 0 .

Подобные перескоки рассматривались в разд. 7.5; введенные там обозначения (7.5.4, 5) теперь конкретизируются так:

А —¦ /

Ni- 3..J (8-5ЛО)

М) —*¦ 8t+\,j

r) ~" &J.I '

Применим разложение Крамерса — Мойала и покажем, что в пределе X — 0 все моменты исчезают, за исключением моментов первого по-
404 Глава 8

рядка. Коэффициент сноса определяется формулой (7.5.32), т. е.

Аа(х) = 2(<5„,, + i -

‘ (8.5.11)

= у (va_j - xj ,

а диффузионная матрица

Ва.ь(х) = — [(<50 ь — <50_1,ь)л:0-1 "г (<5„,ь — <5a,6-i)-vo)] • (8.5.12)

Положим теперь xt = p{rt) в соответствии с (8.5.6) и перейдем к пре-

делу малых X. Имеем

Ла(х) — -т- [лр(га — Я, г) - лр(га, г)] (8.5.13)

Л

---?.Kd,p(r,t). (8.5.14)

Подобным образом находится предельное значение матрицы Ва й(лг). Используя также

й„.ь —¦ Я 5(га — г4), (8.5.15)

получаем

ВаЛх) кЛ3дгд,,[6(г — г')р(г)] . (8.5.16)

Таким образом, в этом пределе р(/", 0 удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

dp(r, О = — + j>'ndlV(r, t), (8.5.17)

где

dW(r, t)dW(r’, t) ---= я- Л9Д/[5(г — r’)p(r, /)]. (8.5.18)

Мы видим, что в пределе X — 0 флуктуационный член в уравнении

(8.5.17) исчезает, приводя, как и предсказывалось, к детерминистическому результату.

Интересно знать, почему существует этот детерминистический предел? Это не разложение по параметру размера системы в обычном его понимании, поскольку ни числа частицу, ни вероятности перехода t+ (х) не становятся большими в пределе малых X, однако вероятность перехода отдельной частицы, находящейся в точке г:, в соседнюю ячейку все же становится в этом пределе бесконечной, так что в этом смысле движение становится детерминированным.

Читатель может также проверить, что описанный результат не зависит от размерности пространства. Поэтому мы можем найти пред-
Пространственно-распределенные системы 405

ставление потока в фазовом пространстве, которое в пределе малого размера ячейки становится эквивалентным уравнению (8.5.3).

Рассмотрим теперь полное описание потока в фазовом пространстве, включающее оба члена уравнения непрерывности. Ячейки в фазовом пространстве берутся в виде шестимерных ящиков с длиной стороны X для пространственных координат и ? — для скоростей. Мы определим плотность в фазовом пространстве через полное число молекул X в фазовой ячейке с помощью формулы

Рассмотрим переходы двух типов. Для простоты считаем, что они происходят только в направлении оси х, и определим

Мы записали равенства (8.5.23) для того, чтобы в явном виде показать, что вероятность перехода есть произведение площади торцевой поверхности ячейки (X2), числа частиц в единице объема и х-компоненты скорости, являющейся аппроксимацией скорости потока через соответствующую грань ячейки.

Следовательно, считая > 0, имеем

/(г9, Vя) = Xif, Vя).

(8.5.19)

К = (А, 0, 0).

Тип 1: Поток в конфигурационном пространстве Он описывается переходами X(r‘, v‘) — X(r‘, v‘) — 1

(8.5.20)

и в то же время

X(r‘ + Xx,-V) — X(r‘ + A*, v‘) +1 (vx .> 0)

(8.5.21)

или

(8.5.22)

(8.5.23)

= vx[X(r° - Лх, V) - X(r°, v‘)]//.

= c,3/3vx[ f{r° + A*, v“) - f(r°, v°)\!>.

-^vxfxf(r,v).

(8.5.24)

(8.5.25)

(8.5.26)
406 Глава 8

Тем же способом, что и в предыдущем примере, можно показать, что диффузионная матрица Вд h пропорциональна X и, следовательно, исчезает при X — 0.

Тип 2: Поток в пространстве скоростей Введем вектор

е, = а, о, о).

Тогда имеем

X(r\ v0 — X(r\ v') - 1,

и в то же время или

Х(г‘. с‘-Ы-Х(г!,.и‘-0 + 1

или

X{r\ v< + U - X(r‘, v1 + М+1 В данном случае А — (/, х, 2)

Ng’Л,2) = S(v\ va)S(r‘, ra)

М{‘'хЛ) = 6{v‘ — ?х, i’a)3(r‘, r“)

(8.5.27)

(Ax < 0), (AX>Q).

(8.5.28)

v°) - S(v‘, v°)]S(r‘, r°)

(8.5.29)

= ?\Ax(r‘)\X(r‘, v‘)/e = ® •

Таким образом, полагая Ax(ra) > 0, находим коэффициент сноса А„ = [X(r“, v° + ix)Ax(f) - X(r‘, v“)AJr“)}lQ (8.5.30)
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed