Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 139

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 185 >> Следующая


(8.4.19)
Пространственно-распределенные системы 401

Мы определим Ь2 с точностью до порядка величины vT>; как показывают расчеты, в выражение для оператора L2 входят только члены, в которых производная d/dy(q) стоит слева. Таким образом, проводя адиабатическое исключение переменных y(q) при D — оо, получаем, что выражение вида PL2L^XL2 не дает вклада в уравнение Фоккера — Планка, и окончательно оно примет форму

дР Г д , х , 1 З2 , ¦

-d7 = Uxa{x)+Nd?b(x\

Р. (8.4.20)

Поскольку переменная х в этом уравнении является, согласно (8.4.12), концентрацией, оно соответствует глобальному управляющему уравнению.

Заметим, что условие применимости полученного результата есть

(8.4.21)

где К представляет собой характерную скорость химической реакции. Замечая, что \(1) = (ж/Nl2), перепишем это условие в виде

D > ^ (8-4-22)

К2

или

Ну, к (8.4.23)

К'' я '

Согласно определению диффузии, левая часть этого неравенства представляет собой среднеквадратичное расстояние, проходимое за характерное время химической реакции. Неравенство (8.4.23) утверждает, что это расстояние должно быть намного больше размера системы. Таким образом, диффузия должна привести к однородному распределению вещества в системе.

8.5. УПРАВЛЯЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Оставшаяся часть этой главы посвящена стохастическому варианту кинетической теории и основана на работах ван Кампена [8.6] и ван ден Брука и др. [8.7].

Рассмотрим газ, молекулы которого описываются указанием их положений г и скоростей V. Молекулы движутся и сталкиваются друг с другом. Когда между двумя молекулами происходит столкновение, скорости молекул изменяются, но их положение остается неизменным. Однако между столкновениями частицы движутся свободно с постоянной скоростью.
402 Глава 8

Таким образом, мы имеем два процесса — столкновение и свободное движение. Каждый из этих процессов довольно легко отгасать в отсутствие другого процесса, но их совместное рассмотрение не является тривиальным.

8.5.1. НЕЗАВИСИМОЕ ДВИЖЕНИЕ МОЛЕКУЛ И СООТВЕТСТВУЮЩИЙ ЕМУ ПОТОК ВЕРОЯТНОСТИ

Мы предполагаем, что имеется большое количество частиц с массой т, координатами гп и скоростями vn, которые не сталкиваются между собой, но движутся под влиянием силы тА (г), действующей со стороны внешнего поля. Уравнения движения имеют при этом вид

г" = v" (8,5.1)

v„ = A(rn) .

Плотность в фазовом пространстве можно определить тогда как Дг, в, 0 = 2 5(г - r„(t))5(v - vn(t)), (8.5.2)

п

так что

d,f(r, v, t) = 2 [r„-Pb(г — rn(t))8(v — v„(t)) + b(r-r„(t))v„-F„b(v — v„(t))].

Л

Используя свойства дельта-функции и уравнения движения (8.5.1), получаем

[д, + v-V + A(r)-F„]f(r, v, 0 = 0. (8.5.3)

Это — детерминистическое уравнение непрерывности для плотности в одночастичном фазовом пространстве. Если частицы распределены по координатам и скоростям в соответствии с некоторым начальным распределением вероятностей, то уравнение (8.5.3) не изменяется, но функцию /(г, v, t) надо тогда интерпретировать, как результат усреднения функции (8.5.2) по начальным координатам и скоростям.

Уравнение (8.5.3) является точным. Функцию f(r, v, t) можно рассматривать как случайную переменную, временная эволюция которой определяется этим уравнением. При этом уравнение (8.5.3) >можно считать стохастическим дифференциальным уравнением с нулевым шумом. Число частиц в фазовой ячейке, т. е. элементе шестимерного фазового пространства объема А, с центром в точке фазового пространства (r; , Vj), очевидно, равно

ЛГ(г„ vt) = J d'r d'vf(r, v) (8.5.4)

4-
Пространственно-распределенные системы 403

8.5.2. ПОТОК КАК ПРОЦЕСС РОЖДЕНИЯ — ГИБЕЛИ

Имея в виду совместное рассмотрение потока со столкновениями, описываемыми посредством управляющего уравнения для процессов рождения — гибели, было бы полезно, если это возможно, представить описанный поток как процесс рождения — гибели в ячейках Д,. Такое представление невозможно в случае ячеек произвольного размера, но в пределе исчезающе малого размера ячеек оно имеет место для любого потока.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим плотность p(r, t) одномерной системы, которая подчиняется уравнению

д,р(г, О = — кд,р(г, t), (8.5.5)

Это детерминистическое уравнение — предел дискретного уравнения для величин

xt(t) = | dr p(r, t) = Xp(rt, t), (8.5.6)

Д,

где А/ — интервал длины X в окрестности точки rr Уравнение (8.5.5) является тогда пределом при X — 0 уравнения
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed