Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
= ?Ч3Ах(г°)[/(г°, v• + U *;•)]/? (8.5.31)
(8.5.32)
Аналогичные рассуждения показывают, что коэффициент диффузии снова исчезает при ? — 0.
Собирая выражения (8.5.?6, 32) вместе, получаем соответствующее уравнение непрерывности в пределе X, ? — 0.
8.5.3. ВВЕДЕНИЕ СТОЛКНОВЕНИЙ. УПРАВЛЯЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Будем сначала рассматривать частицы только в пространстве скоростей и разделим пространство скоростей на ячейки, как это делалось раньше. Пусть X(и) — число молекул, обладающих скоростью v (которая, конечно, дискретизирована).
Прос i ранственио-распрсдслснныс системы 407
Тогда столкновение представляется как «химическая реакция»
Столкновение характеризуется индексами (i, j, к, I). Используя обозначения разд. 7.5, мы находим
При столкновениях имеются пять инвариантов движения, т. е. величин, сохраняющихся в процессе столкновения, что следует из динамики. К ним относятся:
1) число молекул — имеются две молекулы в каждой части
2) три компоненты импульса: поскольку все молекулы идентичны, это означает, что в столкновении
Величины v и v2 известны как аддитивные инварианты, и можно показать, что любая аддитивная сохраняющаяся функция является их линейной комбинацией (с возможным постоянным членом) [8.8].
При всех столкновениях молекул имеется симметрия относительно обращения времени, вследствие которой
Наконец, из-за идентичности всех частиц мы имеем соотношения
Мы располагаем теперь следующими возможными подходами.
1) Непосредственное применение управляющего уравнения.
2) Разложение по обратному размеру системы: мы считаем большим объем ?3 фазовой ячейки в фазовом пространстве ?3 и можем записать уравнение Фоккера — Планка, используя разложение Крамерса — Мойала.
X(v,).+ X(v,) ~ X(vk) + X(v,).
(8.5.33)
а. к Т &aJ .
Вероятность перехода в единицу времени берем в виде = R(ij, ki)X{Vl)X(Vj) tgu(X) = 0.
(8.5.34)
(8.5.35)
(8.5.33);
Г,. + Vj = vk + v, ;
3) полная энергия: это означает, что
v} + vj = v\ + vj .
(8.5.36)
(8.5.37)
R(ij, kl) = R(kl, ij) .
(8.5.38)
R(ij, kl) = R(ji, kl) = R(ij, Ik), и т. д.
(8.5.39)
408 Глава 8
Из (7.5.32) мы можем найти вектор сноса Ла(Х) = 2 (Sa.t - 6..J + sa,k -f Saj)X(v,)X(Vj)R(ij, kl). (8.5.40)
i.J.k.l
Используя все имеющиеся симметрии, перепишем правую часть этого выражения в виде
=-¦ 2 ? R(aj, к!) [X(vk)X(v,) - X(va)x(vj)]. (8.5.41)
Можно также вывести выражение для коэффициента диффузии В.Ь(Х) = 2 гГ'гГ1 Ш kl)X(v,)X(vj)
ij, к, I
и, снова полностью используя все имеющиеся симметрии, получаем
BJX) = UQ.b 2 R(aj, k/)[X(v.)X(Vj) - *(«*)*(*>«)]
j.K!
+ 22 R(ij, ab)[X(v,)X(Vj) 4- AXua)A'(u4)]
ij
- 4 2 R(aj, bl)[X(va)X(Vj) + X(vb)X(v,)] . (8.5.42)
Эти выражения входят в стохастическое дифференциальное уравнение
dX{v„) ={2 2 R(aj, kl) [X(vk)X(v,) - X{va)X(Vj)}} dt + dW(va, t), (8.5.43)
k,l 7
где
dW(v„ t)dW{vb, t) = dt Bab(X) . (8.5.44)
Пренебрегая стохастическим членом, мы возвращаемся к уравнению Больцмана для X (va) в дискретной форме. Как обычно, это уравнение, полученное в результате разложения Крамерса — Мойала, справедливо только в пределе малого шума, эквивалентного разложению по обратному размеру системы; причем размер есть объем ячейки в импульсном пространстве.
3) Представление Пуассона: управляющее уравнение Больцмана идеально подходит для применения метода представления Пуассона. Используя, как всегда, переменную a(va), мы можем, следуя результатам (7.7.6—9), получить уравнение Фоккера — Планка в представлении Пуассона с вектором сноса
А „(а) = 22 Riaj, kl) [a(vk)a(v,) — a(v„)a(v )] (8.5.45)
J.k.l
и диффузионной матрицей
Bab(tt) = 2даЬ 2 R{ij, kl)[a{v,)a(vj) ~ a(va)a(v,)] -f
i,j> I
Пространственно-распределенные системы 409
+ 2 2! R(‘j, ab)[a(Vi)a(Vj) - a(va)a(vb)]
— Sa,b 2 R(aj, bl)[a(va)a(vj) — a(vb)a(v,)] , (8.5.46)
j, I
что соответствует стохастическому дифференциальному уравнению
da{v„) = 22 R(ajx kl) [a{vk)a{v,) - a(va)a(Uj)\ + dW(va, t) , (8.5.47)
j.k.l
где
dW{va, t)dW(vb t) = dt Bab(a). (8.5.48)
Как подчеркивалось ранее, данное стохастическое дифференциальное уравнение в представлении Пуассона в точности эквивалентно предполагаемому управляющему уравнению Больцмана. В отличие от разложения Крамерса — Мойала, или разложения по обратному размеру системы, оно справедливо для всех размеров ячеек ? в пространстве скоростей.
