Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
8.3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ СТРУКТУРЫ
В этом разделе мы рассмотрим различные аспекты пространственных, временных и пространственно-временных корреляций в линейных системах уравнений, являющихся, конечно, точно решаемыми. Наиболее важными представляются факториальные корреляционные функции, которые выражаются через факториальные моменты так же, как обыкновенные корреляционные функции выражаются через моменты. В приводимых ниже примерах мы увидим, что возникающие уравнения выглядят более естественно, будучи записаны через факториальные моменты.
8.3.1. РЕАКЦИЯ X ^ Y
к2
Предположим, что диффузия имеет однородный и изотропный характер, а коэффициенты диффузии компонент X и Y одинаковы. Тогда, поскольку уравнения реакции с диффузией линейны, мы находим для
Пространственно-распределенные системы 383
концентрационных переменных т\ и ц. (соответствующих компонентам X и Y) следующие ланжевеновские уравнения в пуассоновском представлении без случайного источника:
д,П(г, О = DV2r] - krf + к2ц
d,p{r, t) = DV2p + ktf - к2ц .
(8.3.1)
а) Пространственные корреляционные функции Заметим теперь, что
Ф = (рх(г, ф
(р(г, О) = <ру(г, О) (8.3.2)
<n(r, Ф = (px(r, t)px{r\ О) - 8(r - r')(pjr, О) s g(r, г', /)
<л(г, t)p{r', ф = <рх(г, t)py(r’, ф = f(r, г', О
<Лг, ф(г', ф = (ру(г, t)p„(r', 0) - 5(г - г')(ру(г, ф = h(r, г', О.
Все эти соотношения представляют собой континуальную форму записи того факта, что моменты в представлении Пуассона совпадают с факториальными моментами для обычных переменных.
Уравнения для средних концентраций, очевидно, в точности совпадают с уравнениями (8.3.1). В однородном случае мы можем считать, что
<Рх(.г, ф = (рЛФ (Ру(г, О) = <Ру(Ф
g(r, г', t) = g(r — г', t) ¦ (8.3.3)
f{r, г', О =/(г - г', О
h{r, г', О = h(r - г', О
Для моментов вида t)ri(0, ф и других находим следующие уравнения движения:
dg(r, t)
dt
df(r, t)
dt
dh{r, t)
(8.3.4)
dt
= 2DF2Hr, t) - 2k2h(r, t) + 2kj(r, t).
Стационарное решение этих уравнений имеет вид
g(r) = т, Яг) = tKk2, Hr) = т,
(8.3.5)
где ? — произвольный параметр. Соответственно стационарные решения уравнений для средних значений таковы:
где X — другой произвольный параметр. Если положить ? = 0, мы вернемся к пуассоновскому случаю, в котором
(Выбирая другие значения параметра ?, мы получим множество решений, отвечающих различным распределениям вероятностей полного числа молекул в системе.)
Так же легко можно получить решения, зависящие от времени, для произвольных начальных условий. В случае когда в начальный момент решения уравнений (8.3.4) однородны, некоррелированны и имеют пуассоновский вид, уравнения (8.3.7) удовлетворяются и их можно выбрать в качестве начальных условий. Тогда функции /, g и h в начальный момент равны нулю и с течением времени меняться не будут. Таким образом, некоррелированная пуассоновская форма сохраняется во времени, как это было уже ранее выведено в разд. 7.76.
При рассмотрении релаксации к пуассоновскому распределению лучше всего задаться начальной корреляционной функцией специального вида. Например, непуассоновская система, в которой корреляция между переменными в начальный момент времени отсутствует, может быть представлена начальными условиями
При этом решения уравнения (8.3.4), зависящие от времени, будут иметь вид
<х(г,)>.= 1к2, Ы'дУ = >
(8.3.6)
(рЛг), рх{г')У = (рх(ф 6(г — г') <,РУ(г)> РУ{г')У = (р,(ф 6(г — г') (рЛг), ру(г')У = 0 .
(8.3.7)
g(r, 0)= а 5(г), /(г, 0) = /? 5(r), h(r, 0) = у 5(г).
(8.3.8)
g(r, 0
~к\гх — 2/c2e2e~<J:i+J:2>' -j- ?зе-2№1+^2)'
кхк2е 1 + (к2 - ?,)?2е-№1+2>' - г>‘ ( (8.3.9)
_k\si + 2k1E2e~ikl+kl)' + ?}e~2(kiik2lt
h(r, t)_
где
e, = (a + 2P+ y)/(kl + k2y
?г = 1Ш +y)- кх(а + p)}!(k, + k2)‘
?3 = [k\a + k\y ~ 2klk2fi]/(kl + k2f .
(8.3.10)
Пространственно-распределенные системы 385
Замечания
1) Выражения ?,, е2 и г3 соответствуют отклонениям от некоррелированного пуассоновского распределения величин < (х; + v(), (к- + .у ¦)>, <(х, + у/), (к- Лг2.уу)> и <(/:,*, - k2yi), (kxXj - k2yj)), являющихся по существу корреляционными функциями флуктуаций плотности, флуктуаций плотности и скорости реакции, а также флуктуаций скорости реакции. Мы замечаем характерный диффузионный множитель перед комбинацией вышеупомянутых членов с временной зависимостью, определяемой константами скоростей химических реакций.
2) Время, требуемое для того, чтобы отклонение от некоррелированной формы (8.3.8) стало пренебрежимо малым по сравнению с пуассо-новским распределением, зависит, конечно, от величины начального отклонения. Считая, однако, что все величины а, /3, 7,<х/> и (у,) имеют одинаковый порядок малости, можно сделать следующую грубую оценку. Рассмотрим для этого малую сферическую область радиуса R, объем которой намного больше объема наших основных ячеек. Мы находим, что в этой малой области объема V
