Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
б) Пространственно-временные корреляционные функции
Поскольку рассматриваемая система линейна, мы можем, как и в разд. 8.3.1, использовать метод разд. 3.7.4. Введем функцию
(8.3.48)
и является фурье-образом от выражения
<рУ*к^к2Цг ~f,)'
(8.3.49)
<P>s(2rc) 3,
(8.3.50)
что соответствует выражению
(рУМг - г'),
(8.3.51)
С(г, о = (р(г, 0, р(о, 0>х .
Тогда уравнению (3.7.63) соответствует линейное уравнение d,G(r, 0 = DV2G(r, О - (.К, - K2)G(r, t)
(8.3.52)
(8.3.53)
с начальным условием
G(r, 0) = (p(r), р(0)>s,
(8.3.54)
392 Глава 8
определяемым формулой (8.3.35). Представляя функцию G(r, t) в виде интеграла Фурье
б(г, 0 = J d3q е-'*-' G(q, t), (8.3.55)
вместо (8.3.53) получим
d'G{q, t) = -0Dq2 + - K2)G(q, t) . (8.3.56)
Используя представление Фурье (8.3.47) начального условия (8.3.54), запишем решение этого уравнения в виде
G(q, t) = {In)
Dq2 + К, Dq2 +
exp[-(Z)<72 + ATj— AT.)/].
(8.3.57)
При желании можно при помощи стандартных методов получить оригинал этого фурье-изображения, хотя фактически предпочтительнее иметь дело с преобразованием Фурье от корреляционной функции. Это диктуется как практическими соображениями, так и удобством вычислений.
Так, в пространственно-временном представлении имеем
G{r,t) =
(р) exp(—r2/4Dt — DtUl)
(4 nDt)312 j[exp( —r//c)] erfc (Dt)112 ,
(Dty
12
I,
+ [exp(r//c)] erfc Для малых t находим 5(r, t) — (p) exp | (4nDt)-312
в то время как для больших t
/с 2{Dt)ll2\
Г
2 {Dt)'
/2
4K2(Dtyi2l K2(p)e~r/!c n _ 4nDr ’
(8.3.58)
(8.3.59)
с<г-'» ~ Й <p> ’ (83 60)
в) Поведение в точке неустойчивости
При К j — К2 реакция приближается к точке неустойчивости, причем, когда К{ = К2, стационарных решений не существует. Мы видим, что одновременно:
1) корреляционная длина /с — оо (8.3.36);
2) дисперсия флуктуаций в объеме V > 11 становится бесконечной
Пространственно-распределенные системы 393
[см. (8.3.42)]. Однако, когда /с — оо при конечных V, достигается точка, в которой /3 ~ К, и равенство (8.3.42) перестает быть справедливым. Когда, наконец, /3 > V, объем делается относительно малым и флуктуации внутри него становятся пуассоновскими;
3) в качестве времени корреляции лучше всего взять
т= = 11/D, (8.3.61)
поскольку это выражение является коэффициентом при t в экспоненте, определяющей поведение пространственно-временной корреляционной функции (8.3.60) на больших временах (в пренебрежении диффузионной частью). Следовательно, вблизи точки неустойчивости также т*с * оо. Таким образом, мы имеем медленные коррелированные на больших расстояниях флуктуации. Такое поведение характерно и для многих других подобных ситуаций.
8.3.3. НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ ВТОРОГО РОДА Рассмотрим реакции
кг
А + Х^2Х
кз (8.3.62)
кх
в + Х^С, к4
обсуждавшиеся ранее в разд. 7.7в, 7.7.3а, 7.7.4в. Эта модель была впервые введена Шлёглем [8.4] и после этого исследовалась во многих работах.
Детерминистическое уравнение для этой модели имеет вид д,/Кг, 0 = DP2p + кг + (к2 — кх)р — клргt (8.3.63)
а его стационарное решение дается выражением
p(r) — Ps = \кг — к\ + V(к2 — к,)2 + 4клк3]/2к^ . (8.3.64)
(Все к( определены в (7.5.29) при П = /3.) Для малых значений к3 стационарное решение обнаруживает поведение, характерное для фазового перехода, как это показано на рис. 8.1.
Уравнению (8.3.63) соответствует стохастическое дифференциальное уравнение, записанное в представлении Пуассона:
dnir, 0 = О + к3 + (к2 - Ki)rj(r, t) - клг)\г, t)\dt
(8.3.65)
+ V 2 [к2г](г, t) — Krf2{r, t)YndW{r, t),
394 Г лава 8
Кг=К, К2~*
Рис. 8.1. График зависимости (х) от к для модели фазового перехода второго рода, где
dW{r, t)dW(r\ 0 = 5(г - r')dt. (8.3.66)
В этом уравнении мы не перешли к континуальному пределу, обсуждавшемуся в разд. 8.2.2, но сохранили возможность нелокальное™ диффузии, т. е.
(<g^)(r, О = - J Щ\г - г'|)7(г', t)dV, (8.3.67)
хотя ранее рассматривался только случай однородной и изотропной диффузии.
В рассматриваемой модели отсутствует малый параметр при флук-туационном члене, и мы остаемся без обычного параметра разложения. Поэтому вводим формально параметр X в уравнение (8.3.65):
dfl(r, 0 = 0 + К3 + (к2 — кх)г](г, О - K4t]\r, t)]dt
+ Ал/2~[к27(г> О — KAt]\r, t)YndW{r, t) (8.3.68)