Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
v, = i(р - q) ¦
После некоторых преобразований столкновительного члена из (8.5.3, 41) получаем детерминистическое уравнение вида
df(r, v)
v-Vf(r, v) - А ¦ Vcf(r, v)
+ j cl3v, S(|f | - \v - vt\)a[q2, q-(v - u,)]
X [f[r, ±(v + v, - q)]f[r, {(v + v, + q)\ -f(r,v)f(r,v,)]
dt.
(8.5.59)
412 Глава 8
Стохастическое дифференциальное уравнение, следующее из разложения Крамерса — Мойала, получается путем добавления стохастического члена dW(r, v, /), удовлетворяющего равенству
Используя в таком виде метод Крамерса — Мойала, ван ден Бруку и др. [8.7] удалось применить разложение Чепмена — Энскога и получить при его помощи флуктуационную гидродинамику.
Вопрос о применимости этого метода, в котором требуется большая величина ячеек для применимости разложения Крамерса — Мойала и их малость для справедливости представления потока в виде процесса рождения — гибели, остается открытым. Однако, поскольку метод Чепмена — Энскога, по всей видимости, эквивалентен адиабатическому исключению тех переменных, поведение которых описывается больцмановским столкновительным членом, результат адиабатического исключения вряд ли чувствителен к точному виду оператора. Таким образом, приближение Крамерса — Мойала может на самом деле быть достаточно точным даже для очень малых ячеек.
б) Представление Пуассона
Стохастическое дифференциальное уравнение в представлении Пуассона можно получить подобным же образом из выражений (8.5.45, 46). Используя обозначение
dW(r, v, t) dW(r', v', t) = 8(r — r')dt X |s(t? - v') j d3vx ^ 8( | q | - | v — vt |)
Xo(q\ q-(v - v,)\f[r, {(v + !>,-*)] f[r, {(v + u, + q)] +f(r,v)f(r, u,)] -2 \d3k S[(f0 - ut)-*] ct[(v0 - vb)2 + ik\ —(va - vbf + \кг]
X [f(va)f(vh - к) + f(vb)f(va - At)] .
(8.5.60)
ф(г, v) = a(r, v)/(P?3),
(8.5.61)
находим
Лф(г, v) = dt -~р-Рф(г, v) - A¦ Vиф(г, v) + J d3vx j~]s(kl - \v — у,|) X сr[q2, q-(v- и,)] [f[r, {(v + vl - q)]f[r, ±(v + v, + q)]
f(r, v)f(r, V,)] + dW(r, V, t),
(8.5.62)
Пространственно-распределенные системы 413
где
dW(r, v, t)dW(r', v', t) = 5(r - r')dt X (5(1; - v') J d’Vl
X a[q2, q (v - и,)] [ф[г, }(f + vx - ?)] ф[г, i(u+u, + ?)] - ф(г, v) ф{г, и,)} + - vx\) a[q2, q-(v - vx)]
X {ф[г, К г + г' - f)] ф[г, }(f+u'+tf)] - ф{г, v) ф(г, и')} j. (8.5.63)
Члены в (8.5.63) соответствуют первым двум членам в (8.5.46). Последний же член в пределе ?3Х3 — 0 дает нулевой вклад.
Как всегда, подчеркнем, что это стохастическое дифференциальное уравнение в пуассоновском представлении в точности эквивалентно управляющему уравнению Больцмана с добавленными потоковыми членами в пределе малого размера ячеек. Уравнения (8.5.62, 63) не записывались ранее в явном виде и до сих пор не применялись. Используя метод Чепмена — Энскога или подобную технику, из них, вероят но, можно вывести точные уравнения флуктуационной гидродинамики.
9
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода из одной фазы в другую
Эта глава посвящена асимптотическому изучению систем, в которых возможны по крайней мере два устойчивых состояния, а также решению некоторых связанных с этим задач. Такие системы имеют большое практическое применение, например вышеупомянутым свойством обладают переключающие и накопительные устройства в компьютерах. К ним относятся также молекулы, которые могут изомеризо-ваться, а совсем недавно был исследован целый ряд радиоэлектронных, химических и физических систем, демонстрирующих огромное разнообразие подобных свойств.
Представляют интерес следующие вопросы.
а) Какова относительная устойчивость различных состояний?
б) Сколько времени требуется системе для спонтанного перехода системы из одного состояния в другое?
в) Как осуществляется переход, т. е. по какому пути в соответствующем пространстве состояний он происходит?
г) Как происходит релаксация системы из неустойчивого состояния?
На все эти вопросы можно относительно легко ответить в случае одномерных диффузионных процессов. Обобщение на случай нескольких измерений было сделано только в последнее время. Обобщение на случай бесконечно большого числа переменных приводит нас в область исследования перехода жидкость — газ и тому подобных фазовых переходов, в которых система может находиться в одной из двух фаз и произвольно распределена в пространстве. Для этой области пока отсутствует систематическое стохастическое описание, и здесь эта задача рассматриваться не будет.
Глава разделена в основном на три части, в которых исследуются: бистабильные диффузионные процессы, описываемые одной переменной, бистабильные системы с одношаговыми процессами рождения — гибели и диффузионные процессы со многими переменными. Во всех трех случаях мы получаем качественно похожие результаты, но требуется затратить огромные усилия для того, чтобы добиться количественной точности.
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 415
9.1. ДИФФУЗИЯ В СЛУЧАЕ ПОТЕНЦИАЛА С ДВУМЯ ЯМАМИ (ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ)
