Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
лись в разложении Крамерса — Мойала.
Условие детального баланса (8.2.27) дает
Щг) = \d38 8&(r + S, -5)
= J d38 8[B(r, ~5) + 8-гЩг, -8) + ...] (8.2.30)
= —М(г) + 2р ?»(г) + ... .
Следовательно,
M(r) = V ¦ D(r). (8.2.31)
В случае более слабого требования (8.2.24) необходимо выполнение более слабого условия
V ¦ [M(r) - V ¦ Z>(r)] = 0 . (8.2.32)
Теперь мы можем записать в континуальной форме вектор сноса А,(х) — — J d38 8)р(г + ?)
= - M(r)-Vp(r) - D{rу. VVp(r). (8.2.33)
Если условие детального баланса выполнено, то, используя (8.2.31), мы можем представить это равенство в виде
/!,(*)— -F-[P(r)-Fp(r)].
(8.2.34)
Общий вид выражения в отсутствие детального баланса можно получить, полагая
/(г) = M(r) - V-D(r). (8.2.35)
Из равенства (8.2.32) следует, что
V -J(r) = 0 . (8.2.36)
Таким образом, можно записать
J(r) = V- Е(г), (8.2.37)
378 I .laua 8
где E(r) — антисимметричный тензор. Подставляя (8.2.37) в (8.2.35), находим
Л/(г) = V ¦ Н(г), (8.2.38)
где H(r) = D(r) + g(r) есть несимметричный тензор. Если (8.2.38) подставить в (8.2.33) и учесть антисимметричность тензора Е = Н —
— D, благодаря чему Е-W р — 0, то будем иметь
А,(х)-----v • [Я(г) ¦ Vр(г)\. (8.2.39)
Это означает, что при детерминистическом описании справедливо уравнение
д,р(г, t) = V-\H(r)-Vp(r, i)],
(8.2.40)
причем тензор Н(г) симметричен, если выполняется условие детального баланса.
Займемся теперь флуктуационным членом, определяемым выражением (8.2.14). Для расчета В1т (х) рассмотрим сначала предел выражения
I2 2 В1тфт - J dr'B(r, г')ф(г'),
(8.2.41)
в котором фт — произвольная функция. После довольно утомительных вычислений, подобных предыдущим, мы окончательно находим
Р 2 В1тфт --2V [D(r)p(r) ¦ Vф(г)}
(8.2.42)
так что
В(г, г') = 2VV. [D(r)p(r)b(r - г')].
(8.2.43)
Феноменологическая теория разд. 8.1 имеет теперь рациональную основу, поскольку равенство (8.2.43) следует как раз из равенства
J(r> О = -H(r)Vp(r, Г) - ((г, t),
где
<?(г, Of (г', О) = 25 (/ - Пр(г)Цг - г')р(г)
и, следовательно,
д,р(г, О = V-H(r)-Vp + V¦ <f(r, t).
(8.2.44)
(8.2.45)
(8.2.46)
Пространственно-распределенные системы 379
Это отвечает теории неоднородной анизотропной диффузии в отсутствие детального баланса. Обычно делается упрощающее предположение
D(r) = П1 , (8.2.47)
которое дает более известное уравнение. Заметим, что, согласно
(8.2.45), флуктуации различных компонент потока в общем случае
коррелированы, если только тензор D не является диагональным.
Сравнение с флуктуационно-диссипационной аргументацией. Результат, почти подобный (8.2.43), можно получить с помощью флук-туационно-диссипационного соотношения, если рассматривать стационарное состояние, в котором флуктуации, как известно, пуассонов-ские. В этом случае справедливо равенство
(х„ Xj) = (Xi)dtJ, (8.2.48)
соответствующее формуле
g(r, г') = <р(г), р{г')У = 8(г - г')(р{г)У .
Поскольку мы пользуемся линейной теорией, можно применить соотношение (4.4.51) разд. 4.4.6, в которое надо подставить матрицы А и АТ вида
А — -V-H(r)-V
Ат ^ -V'-H(r')-V'. (8.2.49)
Поэтому
В(г, г') ВВТ (8.2.50)
= Аа + аАт — [—Р- Я(г) • V — V ¦ Я(г') • F'k(r, г') .
Заметим, что в стационарном состоянии среднее < р (г)) = < р) не зависит от г. Таким образом,
В(г, г') = [—р • Н(г) ¦ V</>)5(г - г') - У'-Н{г')-У\рУЬ{г - г')]
= рр': {[Я(г) + Ят(г)]</^>5(г - г')} (8.2.51)
= 2РР: [Р(г)<рЖг - г')] •
Однако этот результат не является столь общим, как (8.2.43), поскольку он справедлив только для стационарного состояния. При этом даже для стационарного состояния в (8.2.51) входит < р), а не р{г), как в (8.2.43). Однако формализм уравнения Фоккера— Планка справедлив только в пределе ячеек большого размера, в котором флуктуации малы, и в этом пределе результаты (8.2.51) и (8.2.43) согласуются между собой.
380 Глава 8
8.2.3. СОВМЕСТНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ И ДИФФУЗИИ
Включим в рассмотрение химические реакции, полагая, что молекулы вступают в реакцию внутри каждой ячейки в соответствии с управляющим уравнением, подобным уравнениям гл. 7. Имея в виду многокомпонентные химические реакции, обозначим
Х=(хих2, ...), (8.2.52)
