Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ящ = Rp; = R, = (/,• + f) - i) {ap/Nf)-1 (n + nj) + (anjNt)-1 (P+Pj) • (n-V-7»
При выводе этой формулы мы считали полупроводник невырожденным и, соответственно, полагали njpj = rii, где rii есть квадрат собственной концентрации электронов.
Формула (П.У.7) выражает темп рекомбинации, обусловленный одним энергетическим уровнем ловушек. Если ловушки могут захватывать только один электрон, то М= 1, fj + fj _ i = /i + /o= 1 и формула (П.У.7) переходит в формулу (IX.6.6) для простых ловушек.
Полученные формулы упрощаются для малой концентрации ловушек (когда бр Ьп) и малого нарушения равновесия. Тогда, полагая в формуле (П.У.7)
/г = По + бп, р = р0 + бр, //=// +6/у
и удерживая только члены первого порядка малости, получаем
Rf = + U~ ° («PjNtr 1 (По +n/) + &^Nt)- 1 (Ро + Р/) 6П’ (n’V'8)
Поэтому обшее время жизни электронов и дырок т выражается формулой м м
Т = Ъп Д Rj= {По + Ро) (0LpjNtr 1 (no + n^+ia^Nt)- i (p0 + pj ’ (П'У'9)
в которую входят только равновесные концентрации носителей заряда я0 и р0 и равновесные числа заполнения уровней fj.
Отметим в заключение два важных предельных случая. Положим, что мы имеем сильно легированный полупроводник р-типа, так что равновесный уровень Ферми расположен ниже наинизшего уровня ловушек Ег (как на рис. 9.8, F = F{). Тогда /о=^1, а все другие //<1, и поэтому в формуле (П.У.9) остается только одно слагаемое с /= 1. При этом р0 п0, п0^пъ Ро Pi- Если равновесная концентрация дырок достаточно велика, так что
1 Ро > (^piNtY 1 пг, то из формулы (П.У.9) следует, что время жизни, так же как и для простых ловушек, достигает предельного значения, не зависящего от концентрации основных носителей р0 и равного гл0 = (ап1Л^)~ Аналогично, для сильно легированного полупроводника ra-типа, когда равновесный уровень Ферми становится выше наивысшего (М-го) уровня ловушек, мы имеем /¦< 1 (/ Ф М). Кроме того, nQ > р0, пм <;и0,
р0<;рА!. Поэтому при больших концентрациях электронов, когда выполняется неравенство (орЛ^)' 1 п0 > (яяЛ1Л^)_1 Рм> т становится равным другому предельному значению Tp0 = (oi'pjaNt)~1, которое тоже не зависит от концентрации основных носителей п0.
650
ПРИЛОЖЕНИЯ
п риложение VI. Интеграл поверхностной проводимости
Как и в гл. X, мы ограничимся случаем невырожденных полупроводников для которых справедливы соотношения (Х.2.3). Кроме того, будем считать, что доноры и акцепторы полностью ионизованы (что имеет место, например, в германии и кремнии с примесями элементов III и V групп при температурах выше температуры жидкого азота). Тогда, следуя работе [1], изменение электропроводности AG можно вычислить следующим образом. В рассматриваемом случае объемная плотность заряда равна
р = ь \(р—ра) — (п — пй)\=е [р„ (e~Y —I) — п0 (eY— I)].
Поэтому уравнение Пуассона для безразмерного потенциала Y
cPY_ _ _ 4я е dx2 ~ е kT 9
й? = “ТГ Е (*“ у- О--(еУ- >)!• (П-VI.l)
принимает вид
Здесь % — (роМ>)'/2> 3 Z.; — длина Дебая в собственном полупроводнике: Граничные условия задачи:
Ч-4-Sv <av,-2>
дг = 0: Y = YS] х — со: ~=Y = 0. (n.VI.3)
Умножая обе части уравнения (П-VI.l) на dY/dx, получаем
di)' = -rAu’~v^')-b‘''~')]dy-
Интегрируя обе части этого уравнения от У = 0 до произвольного значения Y, находим
dY Vе!
ж = тгр{?’1)’ {илпл)
где
F(Y, |)= + [i (e~Y—(eY — 0 + ^1—i-) у]*7*. (n.VI.5)
Так как при > 0 потенциал Y убывает с увеличением х, то в формуле (n.VI.5) для этого случая нужно брать знак минус. При Ks < 0 следует выбирать знак плюс. Формулы (П.VI.4) и (n.VI.5) выражают первый интеграл уравнения Пуассона и дают распределение градиента потенциала (электрического поля) в функции самого потенциала Y.
С другой стороны, в интегралах Гр и Г„ (§ Х.2) интегрирование по х можно заменить интегрированием по Y:
0
Гр= j \Р М — Ро] J [р (Y)-p0)f?dY,
о
0 5 (П. VI.6)
Г„= J [n(Y)-n0] d*rdY.
ПРИЛОЖЕНИЯ
651
Подставляя сюда dx/dY из формулы (П. VI.4) и выражая р (Y) и п (К) по формулам (Х.2.3), мы получаем для изменения проводимости ДО выражение
о g (е— Y________________1)
AG = cHp(rp + 6rB) = -^-e/ipLini J ----------------------------------------FTF7T)-dK- (n-VL7)
r 4 v
Входящий сюда «интеграл поверхностной проводимости» в общем случае не выражается аналитически и гребует численных расчетов. Кривые рис. 10.7 дают значения этого интеграла (умноженного на |1/а) как функцию
Из формулы (П.VI .7) непосредственно получается величина Ysm, соответствующая минимуму Да. Дифференцируя эту формулу по Ys и приравнивая производную нулю, мы имеем
