Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(без суммирования по а в экспоненте).
Поскольку
2я
= hCj^ = , па {cc — Xy у у z)9
L'CL
мы имеем по формуле геометрической прогрессии
1 — ехр 2ш (п„ + п') ( Gr, п 4-п'=0
Sa =---------0 . 1 — а)— = { a* и> (П.VIII.2)
1 ехр (па + п') аа I 0, па + п'аФ 0.
Подставляя это выражение в формулу (П.VIII. 1), получаем результат (XII.2.6).
Приложение IX. Вывод условия ортогональности (XII.2.11)
Опуская для краткости аргумент q, перепишем еще раз уравнение (XI 1.2.10):
2 ПЪ’^а ® W (*)• (H-IX.1)
ft, a
С учетом вещественности <о^, вытекающей из (XII.2.10), можем написать сопряженное уравнение (при том же q и другом, вообще говоря, значении s) в виде
2 таг (*') = “*•*«„. (s'). (П.1Х.2)
h, a
656
ПРИЛОЖЕНИЯ
Умножим уравнения (ПЛХ.1) и (П.1Х.2) соответственно на ?;*,а, (s'), ?/г,а, (s) и просуммируем но А', а'. Получим
S 2 ]X'UV(s')^a(s) = ^ Е MA,t|,a,(s')W(s). (ПЛХ.1')
ft', a' h, a h', а'
Е Е (Гя“'Т W (s) &х (S') = “s' Е ^^(s'K^s). (П.IX.2')
/Г, a' A, a ft', а'
Примем теперь во внимание равенство (XII.2.12) и вычтем почленно уравнение (П.IX.2') из (П.IX.Г):
S { Г№ Фa' (s') САа (S) - Г^а (s') eh,e. (s)} =
ft, ft', a, a'
= K-“S2') S M/AV (s') W (s)- (n-IX-3>
ft', a'
Выполняя во втором слагаемом в левой части (П.1Х.З) замену индексов суммирования
h^h', a^a',
видим, что оно совпадает с первым. Таким образом, равенство (П.1Х.З) принимает вид
Е %-ShV(s')W(s) = О- (П.IX.4)
h', a'
Следовательно, при ^ со|,
Е Mk4’a .(®')W(s) = 0- (П-1 Х.5)
ft', a'
При однозначной зависимости s от со- отсюда вытекает условие (XII.2.11). В противном случае частоты могут оказаться одинаковыми и при s' ф s. Это, однако, означает вырождение: одному и тому же значению со^ будет отвечать несколько решений (s) уравнения (XII.2.10). Всегда можно выбрать такую их линейную комбинацию, чтобы равенство (П.IX.5), т. е. условие (XII.2.11), все же удовлетворялось при s' ф s.
Приложение X. Переход от суммирования по дискретным компонентам квазиимпульса к интегрированию
Рассмотрим сумму
S= 2 f(p), (П.Х.1)
V v nz
2яй 2 Tifi 2лй
где / (Р) — любая регулярная функция, px = —j--nx, ру = -^—Пу, pz = —j—nz,
а пх, пу, пг— положительные или отрицательные целые числа или нули. Разность между соседними значениями ра (а=х, у, г) составляет
. 2л h
Др„ = —.
Таким образом, выражение (П.Х.1) можно переписать в виде ( L \*
S =
\ 2яй
^ f (Р) ЬР* АРУ АРг- (П‘Х-2)
ПРИЛОЖЕНИЯ
G57
Пусть при L—>-co функция / (р) не зависит от L. В правой части (П.Х.2) стоит интегральная сумма, и при L->-co мы получаем
“-wi'*1»' v~tf-
Величина S/V при этом остается конечной и не зависит от V.
Соотношение (П.Х.З) составляет правило перехода от суммирования по пх,
и,,, пг к интегрированию по трехмерному р-пространству. Такое же правило применимо и в случае одного или двух измерений: надо лишь заменить в (П.Х.З)
V = L3 на L или L2, а тройной интеграл —на однократный или двойной.
Приложение XI. Гамильтониан взаимодействия электронов с акустическими фононами
Согласно (XIV.3.5) напишем гамильтониан взаимодействия электронов с акустическими фононами в виде (опускаем временно сумму по s):
(П.хм)
Не предполагая пока симметричности тензора представим его в виде
суммы симметричной и антисимметричной частей;
(П. XI.2)
где
*«Р=4 (Яар + ?р«), ?2р= { (?аР-?Ра). (П-Х1.3)
Соответственно
И'-- , 1 Еа (П XI 4)
Н - ( дх$ + дха ) "г 2 “Р 1 дхц дха ) ’ ( ' ' }
Компоненты антисимметричного тензора можно представить в виде [1]
^p = e«pv^v, (П-Х1-5)
