Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
N
6Я' = 21 би (T-R;)-Ntu0. (П.XIII.14)
j = l
Таким образом.
<(6Я
2 2]6f/(r-Rf)6f/(r-r7)-l* = 1 /= 1
N Л
— 2Ntu0 2 bU(r-Ri) + Nhl\dR1...dRN. (П.ХШ.15)
i= l J
Очевидно, второе и третье слагаемые в правой части (П.ХШ.15) в сумме составляют
~2Nm + Nhl = —Nhl. (П.ХШ.16)
В двойной сумме по / удобно выделить слагаемые с /=/. Тогда первый член в правой части (П.XIII. 15) можно переписать в виде
IN N Ч
2 [6У (г—Rj)]2+ 2 bU(r-Ri)W(r-Rj)\dR1...dRN =
I
-N'l [W(r-R)]*dR+ (П.ХШ.17)
*) Фактически в макроскопически однородном образце второе слагаемое в (П.XIII.14) следует отбросить в силу условия полной нейтральности материала. Действительно, заряд примесных ионов точно компенсируется свободными электронами и дырками (либо—в условиях компенсации—ионами другого знака). Следовательно, к выражению (П.ХШ.11) надо добавить еще постоянное слагаемое, описывающее энергию взаимодействия электрона с размазанным в пространстве зарядом всех других электронов и дырок. Можно доказать, что это слагаемое равно —Ntu„. При вычислении интересующей нас величины ((6Я')2) это, однако, не играет роли.
664
ПРИЛОЖЕНИЯ
Асимптотически при N->- со, К->оз, N t = ~ < со правая часть (П.XIII.17) принимает вид
Nt\ I6U(r-R)pdR + M2«o. (П.XIII.17')
Очевидно, интеграл по R здесь не зависит от г: можно ввести новую переменную r' = r —R. Складывая выражения (П.XIII.16) и (П.XIII.17'), мы получаем
^ = [8U (r')pdr'. (П.XIII.18)
Пусть, например, потенциальная энергия электрона в поле одного заряженного центра описывается формулой (П.XI 1.5)
Ш(г')= g-eXp(-?). (П.XIII.19)
Подставляя это выражение в (П.XIII.18), находим
% = 2 *Z*eWtr0' (П.XIII.20)
Приложение XIV. Теорема об интеграле от периодической функции
Рассмотрим выражение
? = $е«гф(г) dr, (П.XIV. 1)
где Ф (г) — функция, периодическая с периодом решетки a, f — некоторый вектор, а интеграл берется по фундаментальному объему. Компоненты f подчиняются условиям периодичности вида (III. 3.10).
Произведем в (О.XIV. I) замену переменных, полагая
r = r'-j-a.
Получим, с учетом свойства периодичности функции Ф,
j? = cxp (ifa) ^ eltr Ф (r'-j-a) dr' = exp (ifa)^ е‘(г Ф (r') dr'. (П.XIV.2) В правой части (П.XIV.2) стоит прежний интеграл js; таким образом,
ji = jzexp (ifa).
Отсюда явствует, что интеграл % может быть отличен от нуля, лишь если
ехр (ifa) = 1, т. е.
f = b т, (I1.XIV.3)
где b — вектор обратной решетки, а т — целое число или нуль.
Приложение XV. Интегралы с функцией Ферми в условиях сильного вырождения
Рассмотрим интеграл
СО
* = $ ф (E)f'0(E)dE. (n.XV.l)
о
где ф(?) — некоторая гладкая функция энергии, a = В условиях сильного вырождения функция /' (Е) Ф 0 лишь при ? ~ ? и в интеграле
ПРИЛОЖЕНИЯ
665
(Tl.XV.l) существенны только значения Е, близкие к ?. По этой причине удобно ввести новую переменную интегрирования
Е-Ь
») = -
kT
и разложить выражение ф (Е) = ф K+'n&r) по степеням г).
Замечая, что
<n'xv-2>
мы получаем
* = ЛФ (9 + W (0 ?я+~ (*Г)а Ф" (?) л + ... (П.ХУ.З)
Здесь
?п= \ Vя Vo' 0l)<4 «=1,2,3. (П.ХУ.4)
-i/kT
По условию сильного вырождения нижний предел в интегралах fn отрицателен и велик по абсолютной величине. Как видно из формулы (П.XV.2), при больших значениях | т] | функция f' (г]) экспоненциально мала. Пренебрегая величинами порядка ехр (—Z,lkT), мы можем распространить область интегрирования до —оэ. Тогда
