Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
3. Г. Л. Бир, Г. Е. Пище, Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, гл. V, «Наука», 1972.
При л ожение XII. Потенциал заряженного центра при учете экранирования свободными носителями заряда
Как показано в § VI.6, для вычисления потенциала ф с учетом экранирования надо решить уравнение Пуассона, в правой части которого фигурирует заряд экранирующих носителей, сам зависящий от ф. В гл. VI соответствующий расчет был выполнен для невырожденного газа при условии, что концентрация носителей заряда и потенциал зависят только от одной координаты. Здесь мы рассмотрим трехмерный случай при произвольной степени вырождения. Пусть, для определенности, образец будет n-типа со средней концентрацией электронов, равной п0. Концентрация электронов проводимости вблизи примесного иона дается формулой (V.4.4a). Допустим, что в области, нас интересующей, еф/kT 1 (это неравенство может и не иметь места; при этом расчет несколько
усложняется). Тогда функцию Ф,д 'j в (V. 4.4а) можно заменить первыми
двумя членами разложения в ряд Тэйлора:
ф*/.
I \ еф d<btu(z)
Ч*\ kT )- "V* \ kT j kT dz г=Е/г
Соответственно вместо (V.4.4a) мы. получим
п(г) = щ+Ыс^гФ'Чг (jL), (П.ХПЛ)
где (z) = d<t> (z)/dz. Уравнение Пуассона примет вид
(П¦X,'2,
Введем обозначение
‘axlu>
660
ПРИЛОЖЕНИЯ
и перепишем уравнение (П.XII.2) для потенциальной энергии электрона 6U = — еф:
V26(/=V8t/. (П.XII.4)
Пусть примесный ион (с зарядом Ze) помещен в начале координат (/• = ()). Тогда при г -*¦ 0 решение уравнения (П.XII.4) должно иметь кулоновский вид (IV.7.1). С другой стороны, при г со потенциальная энергия б(У (г) должна убывать по абсолютной величине. Естественно считать также, что функция 6U (г) будет сферически симметричной. Анизотропия изоэнергетиче-ских поверхностей, если она есть, в данном случае «смазывается» благодаря суммированию по всем минимумам, неявно выполненному в правой части (V.4.4a). Решение (П.ХП.4), удовлетворяющее поставленным условиям, имеет вид
бУ(г) = 4т-ехР(-^). (П.XII.5)
Величина г0, определяемая равенством (П.ХН.З), имеет размерность длины и называется радиусом экранирования. Как видно из формул (П.ХП.1) и
(П.XII.5), она определяет размеры области, в которой в основном находится
экранирующий заряд. Видно, что при г >> г0 потенциальная энергия бU {г) быстро убывает по абсолютной величине и система «заряженный центр -(-экранирующие носители» ведет себя как нейтральная.
Выражение (П.ХП.З) заметно упрощается, если рассматривать невырожденный или, наоборот, полностью вырожденный газ. Как показано в §§ V.5,
V.6, в первом случае мы имеем
а во втором случае
’•-j т U?• <ах"'6б)
, kT ) 3 У л [ kT ) 2тд
Соответственно в невырожденном полупроводнике
'•-(w)* ,п'xп'6¦|
а в условиях полного вырождения
1 ! я\‘/. „у/,
таё
При наличии экранирующих носителей заряда обоих знаков формулы
(П.ХП.З) и (П.XII.6а, б) несколько изменяются. Выражение (П.XII.5), однако,
I 6U I , I 6U \ ^ ^
остается в силе, коль скоро ' ^ 1 <; 1 или-1—^г-1-•% 1. Так же обстоит дело
и при других механизмах экранирования (последнее может быть обусловлено, например, корреляцией в пространственном распределении примесных атомов, возникающей при введении их в решетку) *).
ЛИТЕРАТУРА
1. Дж. Займам, Принципы теории твердого тела, изд. 2. «Мир», М., 1974.
*) В металлах, где мы можем иметь сильно вырожденный электронный газ при сравнительно малой концентрации примеси, вид функции бU (г) отличается от (П.ХП.5) [1].
ПРИЛОЖЕНИЯ
661
Приложение XIII. Усреднение по координатам примесных атомов
Вероятность перехода (XIV.5.3) зависят, очевидно, от 3N координат примесных атомов:
^1 = ^2 = 55 = ^(Р, р'; Rx, .... Яд,). (П.ХШ.1)
Точный вид этой зависимости характеризует данный конкретный образец и обычно не представляет физического интереса. Используя совок-упность большого числа кристаллов, мы получим среднее значение
W = 5^(P, р'; Rr .... Rjv)^ (Rr .... R^dRj.-.dR^. (П.ХП1.2)
Здесь интегрирование по каждой из координат R,, ... производится в пределах основного объема (куба) V; F (R ..., RA,) ... dRN есть вероятность обнаружить 1-й, 2-й, ... атомы примеси, соответственно, в элементах объема dRy dR2, ..., dKN около точек Rr R2, ..., R^. Она удовлетворяет очевидному условию
\F (Rr R2 ..., R^rfR^R, ... dRN= 1. (П.ХШ.З)
