Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
б (г) = б (х) б {у) б (г), (n.IV.3)
J dx dy dz / (*, у, г) б (г) =/ (0, 0, 0) (П.IV.4)
при условии, что точка г = 0 лежит внутри области интегрирования.
Согласно (n.IV.l) и (n.IV.2) 6 (х) не относится к числу функций, рассматриваемых в классическом анализе. Действительно, интеграл
j б {х) dx,
взятый по любому отрезку, содержащему точку х — 0, конечен, в то время как «функция» 6 (х) отлична от нуля лишь на множестве меры нуль. Все же определениям (n.IV.l), (n.IV.2) можно придать точный смысл, рассматривая б (х) как символ некоторого предельного перехода, выполняемого над интегралом от регулярных функций. Так, по теореме Фурье мы имеем при любой достаточно регулярной функции f (х)
+ со
lim С /(*)^-5?<&=я/(0). (n.IV.5)
а-*со J *
— оо
Сравнивая это соотношение с (n.IV.l), получаем следующее символическое представление 6-функции:
б (*) = -- lim (П.IV.6)
^ а —> оо X
Существует много соотношений такого типа. Все они, как и (n.IV.6), приобретают точный смысл, лишь будучи проинтегрированы с какой-либо регулярной функцией *).
Из определений (n.IV.l), (n.IV.2) вытекают следующие правила преобразования б-функций:
*) Понимая соотношение (П.IV.6) буквально, мы получили бы 6(0)=— lim а=со.
а —> со
Это «соотношение» часто используется как дополнение к (П.IV.2).
648
ПРИЛОЖЕНИЯ
1) Пусть С —постоянная. Тогда
б (Сх) = ] С l^1 б (*). (П.IV.7)
2) Пусть ф (*)— непрерывная функция, все вещественные корни которой простые. Обозначим их через хп (я=1, 2, ...). Тогда
8i»mi-2t?i3p <alv'8)
П
Можно определить и производные любого порядка от 6-функции. Действительно, пользуясь формальным правилом интегрирования по частям и соотношением (n.IV.l), мы имеем
ь
^ / (х) 6,л| (х) dx=(—1)” /<л) (0) а < 0 < Ь, (П.IV.9)
а
где п — любое целое число.
Приложение V. Рекомбинация через многозарядные ловушки
Пусть ловушка может захватывать 0, 1, 2, ... , М электронов, создавая в запрещенной зоне энергий М локальных уровней. Тогда суммарный темп захвата электронов из зоны проводимости на уровень / (при этом захваченный электрон становится /'-м) можно выразить формулой, аналогичной (IX. 4.7):
Rnj = anjNt (// _in—fjtij). (ПЛ/.1)
Здесь anj — коэффициент захвата электронов на уровень j (до захвата ловушка имела (/—-1) электронов); Nrfj и — неравновесные концентрации лову-
шек в /-м и, соответственно, в (/—1)-м зарядных состояниях; п/— величина, аналогичная % для однозарядных ловушек, равная (с точностью до отношения статистических весов) равновесной концентрации электронов в зоне при совпадении уровня Ферми с уровнем Е/. Совершенно так же суммарный темп
захвата дырок на уровень / (до захвата дырки ловушка имела / электронов)
выражается формулой, аналогичной (IX. 4.7а):
Rp/ = apiNt ifjP—fj - iP,)> (n.V.2)
где ctpj—коэффициент захвата дырки на уровень ?/, а р,— равновесная концентрация дырок при совпадении уровня Ферми с уровнем Полные темпы захвата электронов и дырок на ловушки в различных зарядных состояниях равны
мм Кп= 2 Я,ф Яр= v Rpj. (n.V.3)
/ = 1 7 = 1
В стационарном состоянии концентрация ловушек в каждом зарядном состоянии не зависит от времени. Это дает
*„1 V R/tM = RpM’
Rni~\~ Rp (/ + i) ~ Rn if + l) ~i~ Rpf (l M),
Отсюда следует, что
*я/ = Яр/ (/ = 1.2,..., М). (n.V.4)
ПРИЛОЖЕНИЯ
649
Кроме того, мы имеем еще условие постоянства полной концентрации ловушек
м
2f,= 1. (TI.V.5)
1 = 0
Написанные уравнения вполне определяют задачу. Условия (n.V.4) и (П.V.5) дают (Л1+1) уравнений для определения всех неравновесных чисел заполнения fj. В частности, уравнения (TI.V.4) дают
f, = fi_1-an,n + *PiP/~. (П.У.6)
7 7 anjUj + apjP }
Подставляя это в выражения (П.У.1) и (FI.V.2), после несложных преобразований получаем
пр — гй
