Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где Ау — компоненты некоторого псевдовектора, a gapY — совершенно антисимметричный единичный тензор (еар^ = —= — 8avP> eim=1)-Замечая, что, по определению операции взятия'вихря,
S-)-(tota>v <п'х,6>
можем переписать второе слагаемое в правой части (П.Х1.4) в виде
-i- (A, rot Q). (П.Х1.7)
Как известно, если компоненты rot Q не зависят от координат, то выражение
rot Q описывает не деформацию, а поворот тела как целого. Соответственно
слагаемое вида (П.XI.7) не может входить в выражение для энергии взаимодействия электронов с фононами *), и антисимметричная часть тензора ?ар тождественно равна нулю:
А = 0, ?аЭ = ^р. (П.Х1.8)
*) Этот вывод может быть несправедлив, если вектор Q описывает заведомо неоднородную деформацию, созданную, например, дислокацией.
658
ПРИЛОЖЕНИЯ
Я'
Гамильтониан Н' сводится к произведению некоторого постоянного симметричного тензора на тензор деформации:
Н'--Е* & + 5М = (П XI 9)
" - 2 “Р \ дхр + й*а / — аР о*р ' (li.Al.J)
Тензор Еар называется иногда тензором потенциалов деформации; компоненты его суть потенциалы деформации.
Приведем тензор Еа$ к главным осям, обозначив главные его значения через Еа. Тогда соотношение (П.Х1.9) примет вид
2 ЕаТ%Г' (П.Х1.Ю)
а=х, у, г
Формула (П.XI.10) превращается в (XIV.3.1), если тензор Еар вырождается в скаляр, т. е. если Ex=Ey = Ez — E1. Так обстоит дело в кубическом кристалле, если дно зоны проводимости лежит в центре зоны Бриллюэна. Главные
оси в данном случае суть оси [100], \0Ю] и [001] в обратной решетке.
Оговорка о расположении минимума зоны проводимости в центре зоны Бриллюэна весьма существенна. Действительно, в других точках зоны Бриллюэна симметрия системы, вообще говоря, ниже кубической: имеется физически выделенное направление вдоль радиус-вектора, связывающего данную точку с центром зоны. Главные оси тензора Еа$ здесь уже не обязаны совпадать с осями куба и могут оказаться неэквивалентными. Соответственно тензор Еа$ может и не выродиться в скаляр даже в кубическом кристалле. Так, в частности, обстоит дело для электронов в германии и кремнии. Формулу (П.XI.9) для такой «многоэллипсоидной» системы следует писать в виде
= (П.XI.9')
/
где индекс / нумерует эллипсоиды и симметричный тензор Еа$ (/) описывает взаимодействие фононов с электронами, находящимися вблизи'/-го минимума энергии. Очевидно, все эти тензоры получаются один из другого преобразованием симметрии, переводящим друг в друга соответствующие минимумы; поэтому достаточно рассмотреть структуру лишь одного из них.
Естественно ожидать, что главные оси Еа$ (/) будут совпадать с осями /-го эллипсоида. Соответственно, выбирая ось вдоль большой оси эллипсоида, можем написать (опуская для краткости индекс /)
Ехх=Еуу = Е', Егг = Е"фЕ'. (П.Х1.11)
Подставляя в (П.XI.9') вектор смещения Q в виде (XII.5.18) и приводя тензор ?ар (/) к главным осям, получаем под знаком суммы по /, q выражения
?' (qxlx + qyty) + E"qztz. (П.XI. 12)
Рассмотрим отдельно случаи взаимодействия электронов с продольными и поперечными фононами.
Для продольных фононов по определению векторы q и g параллельны, т. е.
4=^1 Ч|. (П.Х1.13)
Соответственно выражение (П.XI. 12) примет вид
* | ? | \e'-(E'~Е") = q | ? j {Е'- (Е'-Е") cos* В}, (П.Х1.14а)
где 9—полярный угол вектора g в системе координат с полярной осью, параллельной главной оси рассматриваемого эллипсоида.
ПРИЛОЖЕНИЯ
659
Для поперечных фононов мы имеем (q, 9=0 и выражение (П.Х1.12) принимает вид
(?' — Е”) (qx*x + qyly) = (?' — Е") q% sin S • sin а • cos (ф — P). (П.XI. 146)
Здесь 0 и ф — полярные углы вектора ?, а и Р —полярные углы вектора q в прежней системе координат.
Видим, чго в данном случае тензор потенциала деформации определяется двумя независимыми константами. В качестве таковых можно выбрать, например, Е' — Е" — Е{ и ?' = S{.
Подробную теорию потенциала деформации в применении к электронам проводимости в германии и кремнии можно найти в работе [2].
Особенно сложной становится теория потенциала деформации в случае вырожденных зон. Соответствующие результаты можно найти в книге 13].
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, Физматгиз, М., 1958.
2. С. Herring, Е. Vogt, Phys. Rev. 101, 944 (1956) (см. русский перевод в сб. «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М., 1957).
