Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что роль «совокупности большого числа кристаллов» может играть и совокупность многих малых объемов, на которые можно разбить данный (достаточно большой) образец. Действительно, каждый из таких объемов можно охарактеризовать, вообще говоря, своей конфигурацией примеси; макроскопический же опыт относится ко всему кристаллу, и, следовательно, в нем автоматически производится усреднение, описываемое формулой (П.XIII.2) *).
Пока концентрация атомов примеси не слишком велика, вероятности попадания их в те или иные элементы объема можно считать независимыми:
F(R 1,.„, RJV) = /(R1) ... /(Rjv), (П.ХШ.4)
причем
J/(R,)dR,= l, t = 1,2, (П.ХШ.З')
Строго говоря, представление вероятности F (R^ ..., RjV) в виде (П.ХШ.4) носит приближенный характер. Так, здесь не исключена возможность одновременного попадания многих атомов примеси в один и тот же узел решетки, что физически невозможно. Если, однако, среднее расстояние между атомами примеси заметно превышает постоянную решетки а, то такие события
будут сравнительно редкими. Поэтому учет корреляции в расположении примесных атомов, исключающий названную «нефизическую возможность», практически несуществен и аппроксимация (П.ХШ.4) достаточна для вычисления кинетических коэффициентов. Более того, в макроскопически однородной системе примесный атом с одинаковой вероятностью может попасть в любую точку кристалла, т. е. функция / фактически есть константа. Согласно условию нормировки (П.ХШ.З')
1. (П.ХШ.5)
Итак, при не слишком большой концентрации примеси (Л^*^3 ^ а) в макроскопически однородной системе
<^>=-рЖ j ^ (Р> Р'; Rr ’ Rtf) dRi dRN. (П.ХШ.6)
*) Речь идет о кристалле, макроскопически однородном, и о макроскопически однородных условиях опыта. В макроскопически неоднородной системе (например, в кристалле с п — р-переходом) интегрирование в (П.XIII.2) удобно производить особо для каждой однородной области.
662
ПРИЛОЖЕНИЯ
Подставляя сюда выражение (XIV.5.3), получаем
О-гг
m = w6(E(p)-E (р')) ((А,) + <Л2». (П.XII 1.6')
Поскольку Ах не зависит от координат примесных атомов,
= ¦¦¦‘RjfA1=*A1' (П.XIII.7)
Далее, согласно (XIV.5.8)
(А2)=±
-IS" {г')еА (Р_Р ’г >dr' Г 2 cos (пг1- R^-R/) -dR*-
(i^/)
Очевидно, все члены суммы по i, / здесь одинаковы, ибо отличаются друг от друга только заменой переменных интегрирования. Пусть i=l, / = 2. Тогда интегралы по R3, ..., сразу берутся, и мы получаем, принимая во внимание, что полное число членов в сумме равно N(N— 1),
{Аг) = ^ ^-1 J W (г') ехр (р_р', r')]dr'|2 X
^ rfR2cos y~> Ri— Raj. (П.ХШ.8)
Введем вместо Rj и R2 новые переменные интегрирования
X
R = y(Ri + R2). R' = Ri — Ra-
Тогда фигурирующей в (П.ХП1.8) интеграл по Ri и Ra примет вид
а = х, у, г V
(П.ХШ.9)
где L есть ребро куба.
При неограниченном возрастании размеров системы правая часть (П.ХШ.9) стремится к произведению 6-функций
У JJ яб (^1
Ра-Рс
2 h
Таким образом, при N-+-ca величина {Аг) отлична от нуля лишь при р' = р, т. е. когда рассеяние отсутствует. Иначе говоря, вклад в рассеяние от этого слагаемого — порядка 1IV, и для макроскопической системы им можно пренебречь. Окончательно:
9-тт
А,6 (Е (р)-? (р')). (П.XIII. 10)
В основном тексте книги мы опускаем угловые скобки, понимая под всеми величинами типа (П.XIII.1) только усредненные их значения.
Вычислим среднее значение квадрата флуктуации потенциальной энергии электрона в поле одинаковых хаотически расположенных ионов примеси. Сог-
ПРИЛОЖЕНИЯ 663
ласно (XIV.5.1) эта энергия дается выражением
N
Я' = 2 bU(r-Ri). (П.ХШ.11)
г= 1
Представим правую часть (П.ХШ.11) в виде
(Н') + ЬН\
где 6Я'— интересующая нас флуктуация энергии, а (Я') —среднее (по координатам примесных ионов) значение Я':
{H') = ~^H’dR1...d R„. (П.ХШ.12)
В силу (П.ХШ.11) в правой части (П.ХШ.12) фигурирует сумма N одинаковых слагаемых. Следовательно, это соотношение можно переписать в виде
(H') = Nt\bU (r-R)dR. (П.ХШ.13)
Интеграл в правой части (П.ХШ.13) есть некоторая постоянная, зависящая от явного вида экранированного потенциала 6(7. Обозначив ее через и0, имеем *)
