Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 4.6. Число пи не меняется при заменах допустимых систем координат. Доказательство.
Грубо говоря, дело в том, что числа 0* подобраны таким образом, чтобы каждое из них менялось по простому правилу
0* —У 0^ = 0* + k{.
Но сумма чисел fe* по всем ребрам, выходящим и входящим в некоторый атом, равна нулю (см. выше формулы для замены допустимой системы координат на атоме). Это и приводит к инвариантности числа п&.
Проверим теперь утверждение леммы прямым вычислением. Посмотрим как меняются числа 0* при заменах допустимых систем координат. Используя явный вид формул преобразования матрицы С*, получаем
05
®i + ki , если е* — выходящее ребро,
0* + к*, если е* — входящее ребро,
0* + К + kt» если e-i — внутреннее ребро.
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
193
Беря сумму по всем ребрам данной семьи, мы видим, что метка п изменяется на сумму всех чисел ks, где индекс s нумерует все граничные торы всех атомов, входящих в данную семью. Складывая все ©J, мы суммируем числа ks, которые можно сгруппировать по каждому атому в семье. Но для каждого атома сумма чисел ks равна нулю. См. выше лемму 4.3. Таким образом, ©J = ©*,
что и требовалось. Лемма доказана. ¦
Метка п допускает интересную топологическую интерпретацию. В некотором смысле она описывает препятствие к распространению сечения с границы семьи внутрь семьи. Дело в том, что семья имеет естественную структуру расслоения Зейферта. Действительно, определение семьи в точности означает, что мы склеиваем два соседних седловых атома по граничному тору в одну семью тогда и только тогда, когда расслоения Зейферта на этом торе, пришедшие из этих двух атомов, совпадают и, следовательно, допускают продолжение на всю семью.
На каждом граничном торе семьи имеется внешний цикл типа /х, пришедший сюда из наружных, т.е. не входящих в семью атомов. Каждый такой внешний цикл [л пересекает трансверсально слои расслоения Зейферта на граничном торе, т.е. определяет многозначное сечение расслоения Зейферта на границе семьи. Грубо говоря, при попытке продолжить это многозначное сечение внутрь семьи возникает некоторое препятствие. Оно и определяется целым числом п. Мы не будем здесь обсуждать это представление числа п более детально, так как в дальнейшем оно нам не потребуется. Но отметим, что в том частном случае, когда вся молекула W является одной семьей, а ее атомы не имеют звездочек, расслоение Зейферта имеет естественно определенный эйлеров класс, который и задается целым числом п.
4.4. Меченая молекула — полный инвариант лиувиллевой эквивалентности
Определение 4.7. Молекула W, снабженная метками r^, Si и п&, называется меченой молекулой или инвариантом Фоменко-Цишанга. Меченую молекулу мы будем обозначать через
W* = (W, П, ?j, nk).
Одним из основных результатов теории лиувиллевой классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы является следующее утверждение.
Предложение 4.2. Набор меток г, е, п является полным набором инвариантов действия группы замен допустимых координат на избыточных оснащениях, т. е. на матрицах Ci молекулы W. Другими словами, два избыточных оснащения молекулы W эквивалентны тогда и только тогда, когда их наборы меток г, е, п совпадают.
Доказательство.
Пусть {Ci] и {С[} — два избыточных оснащения с одинаковыми наборами инвариантов г, е, п. Заметим прежде всего, что этот набор однозначно определя-
194
Глава ^
ет разбиение молекулы W на семьи, поскольку метки г однозначно определяют конечные и бесконечные ребра молекулы. Рассмотрим отдельную семью Y. На каждом ребре этой семьи с помощью избыточных оснащений [Ci] и {С[} мы можем задать целые числа ©j и по формуле из определения 4.6.
Рассмотрим на каждом ребре данной молекулы разность ©^ — ©j. Поскольку метка п для рассматриваемых оснащений одна и та же, то XX® i — ®*) = 0. Рассмотрим граничные торы всех атомов, входящих в данную семью. Поставим в соответствие каждому из этих торов целое число по следующему правилу. Если тор соответствует внешнему ребру е*, входящему или выходящему, мы ставим ему в соответствие число ©j — ©*. Если ребро е* — внутреннее, то на двух граничных торах Т[ - иТ+, на начале и конце ребра, мы ставим числа ki и kf так, чтобы кг“ + kf = ©^ — ©*. Это можно сделать многими способами. Однако, используя условие XX®i — ®*) = 0, мы всегда можем добиться того, чтобы для каждого атома из семьи сумма целых чисел, стоящих на его граничных торах, была равна нулю.
Итак, теперь на граничных торах каждого атома семьи у нас определен набор целых чисел с нулевой суммой, что позволяет сделать замену допустимой системы координат на этом атоме по формуле из леммы 4.3. Сделаем такую замену на каждом атоме семьи. В результате (см. выше формулы преобразования чисел ©j) мы добьемся равенства ©^ = ©j на всех ребрах рассматриваемой семьи.
