Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Кроме того, мы имеем ориентацию на всем 3-атоме, а, следовательно, и на его граничном торе. Поэто-
Рис 4 1
му мы можем однозначно определить ориентацию и
первого базисного цикла А, потребовав, чтобы пара (А, ц) была положительно ориентирована. Легко видеть, что этими условиями цикл А будет определен однозначно, в то время как цикл ц будет определен с точностью до замен вида // = /I + кХ, к 6 Z.
Лемма 4.1. Пусть (А, ц) — допустимая система координат на границе атома А, т. е. полнотория. Для того, чтобы другая система координат (А', ц') была допустимой необходимо и достаточно, чтобы
А, = А’ (1) ц = ц + к А, где к — целое число.
Доказательство.
Цикл А, очевидно, определен однозначно, с точностью до изотопии, поскольку он является исчезающим циклом полнотория, т.е. стягивается в точку. См. рис. 4.1. Второе соотношение следует из определения цикла ц. Лемма доказана. ¦
Тем не менее все допустимые системы координат будут абсолютно равноправны, так как могут быть переведены друг в друга с помощью подходящего гомеоморфизма полнотория на себя, сохраняющего ориентацию как всего полнотория, так и особой траектории — оси полнотория.
Лемма 4.2.
а) Любые две допустимые системы координат (X, ц) и (X1, ц') на границе атома А могут быть совмещены посредством подходящего диффеоморфизма атома А на себя, сохраняющего структуру слоения Лиувилля.
б) Обратно, любой диффеоморфизм атома А на себя, сохраняющий слоение Лиувилля, переводит допустимую систему координат (X, ц) в другую допустимую систему координат (X', ц').
184
Глава ^
Доказательство.
Рис. 4.2
Любой автоморфизм атома А, т. е. диффеоморфизм полнотория на себя, сохраняющий структуру слоения Лиувилля, устроен так. Нужно разрезать полноторие по меридиональному диску (рис. 4.2) и снова отождествить
два получившихся берега разреза при помощи поворота диска на угол, кратный 27г. Такая операция называется скручиванием полнотория вдоль данного
на базисных циклах выбирается однозначно так же, как в предыдущем случае. Две различные совокупности допустимых систем координат {(Aj,/^j)} и {(А'-,/^)} будут при этом связаны следующими соотношениями
причем 'Yj = 0. Доказательство см. ниже.
Это связано с тем, что сечение Р С U(L) может быть определено многими существенно неэквивалентными способами.
Случай 3. Рассмотрим, наконец, последний случай, когда 3-атом U(L) содержит седловые критические окружности с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами и имеет поэтому нетривиальную структуру расслоения Зейферта. В этом случае, как и в предыдущем, мы в качестве первых базисных циклов А* возьмем слой расслоения Зейферта.Далее нам также хотелось бы поступать аналогично, но к сожалению из-за наличия особых слоев это расслоение не имеет глобального сечения такого, чтобы каждый слой пересекал его ровно один раз. Однако мы можем всегда построить такое сечение, удалив малые окрестности особых слоев. Нам понадобится при этом каким-нибудь естественным образом закрепить это сечение вблизи особого слоя. Оказывается, это действительно можно сделать. Рассмотрим для этого трубчатую окрестность особого слоя и ее гра-
диска (рис. 4.2). Отсюда, очевидно, вытекает утверждение леммы.
Рис. 4.3
Случай 2. Пусть 3-атом U(L) является седловым и имеет структуру тривиального ^-расслоения над поверхностью (2-атомом) Р. В этом случае в качестве первого базисного цикла А* на каждом из граничных торов Tj мы возьмем слой этого расслоения. Дополнительные циклы (ц мы выберем следующим образом. Рассмотрим произвольное сечение Р С U(L). Оно высекает на каждом граничном торе Т{ некоторый цикл /^-, который мы и возьмем в качестве второго базисного цикла на Tj (рис. 4.3). Отметим, что на каждом отдельном граничном торе Tj мы можем выбирать Hi произвольно, однако в совокупности они должны быть связаны условием существования глобального сечения Р С U(L), проходящего через них. Ориентация
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
185
ницу, являющуюся тором. На этом торе уже есть два однозначно определенных цикла: первый из них — это слой Л расслоения Зейферта, а второй — меридиан этого полнотория х, стягивающийся в точку внутри полнотория. Этот второй цикл х мы ориентируем так, чтобы в совокупности эти циклы образовывали положительно ориентированную пару (Л, >г), не являющуюся однако базисом, поскольку рассматриваемые циклы имеют две точки пересечения. Теперь, имея пару фиксированных ориентированных циклов, мы можем определить еще один цикл //, дополняющий Л до базиса и являющийся поэтому сечением расслоения Зейферта на рассматриваемом торе. Мы определим его однозначно из соотношения (рис. 4.4)
Х = к — 2/i.
Вернемся теперь к 3-атому U(L) в целом. Удалим из него трубчатые окрестности особых слоев. В результате мы получим некоторое новое многообразие со структурой тривиального 51-расслоения, край которого увеличился на несколько новых торов. На каждом из этих торов мы однозначно определили цикл ц. Рассмотрим теперь сечения Р этого тривиального расслоения, высекающие на новых торах циклы fi. Этим условием мы закрепили сечение вблизи особого слоя. Вдали от особого слоя оно может быть совершенно произвольным. Такие сечения Р мы будем называть допустимыми. Теперь, как и в случае 2, в качестве циклов на торах Т» мы возьмем циклы, высекаемые построенным сечением. Две допустимые системы координат, отвечающие различным сечениям, будут связаны в точности теми же соотношениями, что и в случае 2. Отметим, что с топологической точки зрения поверхность Р представляет собой базу расслоения Зейферта, из которой удалены малые окрестности особых точек.
