Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
довой плоскости Ж2 по решетке Z ® Z (рис. 4.12). Изобразим здесь же действие группы Zр, нарисовав на плоскости фундаментальную область этой группы. Эта область является параллелограммом, заштрихованным на рис. 4.12. На рис. 4.12 изображен случай, когда р = 3, q — 2. В результате на плоскости Ж2 возникают две решетки — исходная, порождающая тор Т2, и новая, более мелкая, порождающая фактор-тор Т2 = T2/Zp. Мы можем изобразить базисы (А+, н+) и (А-, ц~) при помощи этой мелкой решетки. Два жирных ортогональных вектора на рис. 4.12 изображают базис исходной, старой решетки, а именно
{z = const, w = woel<p}
{w = const, г = z§e%4>}.
Эти два цикла проектируются с тора Т2 на фактор-тор Т2 взаимно-однозначно, поэтому их можно взять на фактор-торе в качестве циклов А+ и А-, соответственно.
Опишем фундаментальную область для тора Т2. Действие группы Ър на плоскости устроено так: образующая ? сдвигает плоскость на вектор — ^А_ + ^А+. Поэтому в качестве фундаментальной области мы можем взять параллелограмм, натянутый на два вектора
А и it =-|А +^А+,
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
205
п.-о
которые, очевидно, образуют базис на торе Т2. Отсюда А+ = q\~ + рц~. Следовательно, г = J;, что и требовалось.
Предложение доказано. ¦
Укажем еще несколько примеров несложных молекул W. описывающих важные и интересные слоения Лиувилля.
Предложение 4.4. Пусть молекула W не содержит атомов со звездочками и имеет вид, показанный на рис. 4.13: все ее ребра, соединяющие седловые атомы, несут на себе r-метку, равную бесконечности, а все ее ребра, заканчивающиеся атомом А, несут на себе r-метку, равную нулю. Тогда соответствующее 3-многообразие Q является локально тривиальным расслоением со Рис- 4-13
слоем окружность над замкнутой двумерной поверхностью Р2, ориентируемой или неориентируемой.
Комментарий. Если же молекула W содержит атомы со звездочками, то многообразие Q3 является расслоением Зейферта, а его особые слои в точности отвечают атомам со звездочками. Если далее заменить нулевые г-метки на ребрах
Р
молекулы W, инцидентных атомам А, произвольными числами то все равно
многообразие Q останется глобальным расслоением Зейферта, но в нем появятся новые особые слои, в точности отвечающие осевым окружностям тех атомов А,
Р
в которые входят ребра с г-метками вида - ф 0.
Доказательство.
На каждом отдельно взятом 3-атоме без звездочек уже задана структура тривиального 5'1-расслоения (теорема 3.3, глава 3). Склеивая граничные торы соседних 3-атомов, мы видим, что слои этих расслоений согласуются на граничном торе. Дело в том, что г-метка равна бесконечности, когда оба атома — седловые, и равна 0 в случае, когда один из атомов имеет тип А. Это в точности означает, что слои, пришедшие на граничный тор из соседних атомов, совпадают (изотопны), и поэтому можно хорошо сшить 5'1-расслоения, заданные на соседних 3-атомах. Тем самым мы получаем глобально заданную на всем Q структуру локально тривиального 51-расслоения. Отметим, что за ориентируемость или неориентируемость получающейся при этом двумерной базы отвечают метки е на ребрах исходной молекулы W. Предложение доказано. ¦
Комментарий. В описанной в предложении 4.4 молекуле W все седловые атомы образуют семью (см. определение 4.5). Из общей конструкции следует, что в таком случае появляется еще один инвариант — целочисленная метка п, которая должна быть приписана этой семье. С другой стороны, согласно предложению 4.4 соответствующее 3-многообразие Q является расслоением со слоем окружность и базой Р2. Предположим, что база ориентируема. Тогда с этим расслоением ес-
206
Глава ^
тественно связан известный инвариант — число Эйлера. Оказывается, метка п и число Эйлера в точности совпадают. В связи с этим дадим наглядное описание числа Эйлера в данном случае. Выбросим из базы Р2 маленький диск D2. Тогда над оставшимся 2-многообразием Р2 \ D2 расслоение со слоем S1 становится тривиальным. Следовательно, в нем можно взять глобальное сечение, т.е. гладко отобразить базу Р2 \ D2 в Q3 \ (полноторие) так, что образ базы пересечет каждый слой ровно в одной точке. Границей 3-многообразия Q3 \ (полноторие) является двумерный тор. Сечение высекает на нем некоторый цикл. С другой стороны, на границе выброшенного полнотория имеется однозначно определенный с точностью до изотопии исчезающий цикл (меридиан полнотория).
Подсчитаем, каков индекс пересечения исчезающего цикла с сечением. Полученное целое число и есть число Эйлера данного расслоения. Оно же является меткой п, отвечающей единственной семье данной молекулы W.
($'»$¦¦¦¦ *($'*$>) С*;,1)
Рис. 4.14
Предложение 4.5. Пусть молекула W имеет вид, показанный на рис. 4.14, т. е. состоит из одного седлового атома V без звездочек и из некоторого количества исходящих из него ребер, каждое из которых заканчивается атомом А. Пусть все r-метки на этих ребрах равны бесконечности. Тогда соответствующее такой молекуле 3-многообразие Q является связной суммой k + 1 экземпляров S1 х S2, где к — это сложность атома V, т. е. число его вершин.
