Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 3.27
Теорема 3.6 позволяет «выписать полный список» всех возможных молекул, т.е. алгоритмически перечислить все молекулы по мере возрастания их сложности. Для этого достаточно взять
Глава 3
177
Обозначим через А(га, п) число всех абстрактных молекул данной сложности (т,п). В силу теоремы 3.6 это число всегда конечно. В таблице 3.3 приведены значения функции А(га, п) для га ^ 4. Этот результат был получен С. В. Матвеевым в результате компьютерного анализа. Из этой экспериментальной таблицы видно, что при га ^ 4 функция А(га, п) обращается в ноль при достаточно больших п. Оказывается, это отражает следующий общий факт.
Теорема 3.7. Пусть Л(га) = {maxn: А (га, п) ф 0}. Тогда
Л(га) =
Зга
2
Доказательство.
Пусть молекула сложности (га, п) состоит из к атомов (Pj, Ki) с атомными весами га* и валентностями щ. Напомним, что валентность атома — это число его концов, т.е. граничных окружностей 2-поверхности Pj. Обозначим через wi и Vi количество вершин графа Ki степени 4 и 2 соответственно. Поясним, что вершины степени 2 — это вершины-звездочки атома. Пусть Xi — эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности Pi, получающейся из исходной поверхности Pi заклейкой всех ее граничных окружностей двумерными дисками. Легко видеть, что
Щ = Xi +
Суммируя эти равенства по г, и учитывая, что Хг ^ 2, га* = -у* + Wi,
Y,mi =
га,
т :> 1,
г= 1
получаем, что
П =
IS
г=1
пг ^ 2 53^
i—1
ггы
к+
Таким образом, А(га) ^
Зга
Зга
для четных га доказы-
Существование молекулы сложности (га, вается ее явным построением на рис. 3.27, а для нечетных га нужно вставить в любое ребро этой молекулы атом А*. Теорема доказана. ¦
В таблице 3.4 приведены все молекулы малой сложности. Из нее видно, что концы атомов действительно различаются по своим свойствам. Разные соединения концов одних и тех же атомов могут приводить к разным молекулам.
Таблицы к главе 3
Таблица 3.1. Таблица 3.2.
3-атомы малой сложности. Список /-графов сложности 1, 2, 3.
сложность=1 _ . Atom /-граф Род Sym Sym
A* О S2 0 Z2
В оо S2 Z2 Z2 ® Z2
/\
\/ а ) S2 Z2 Z2 ® Z2
В
к А S2 Z4 d4
СЛ0ЖН0СТЬ=3 \/ © S2 Z2 ® Z2 Z2 ® Z2 ® Z2
фю'1 (ро}! СОТ| <72
тщу" /\
к ООО S2 Z2 Z2 ® Z2
/\\
\\/ 0* 1> S2 Z2 Z2 ® Z2
Di
\/ сК э S2 0 Z2
d2
/\
В* оО S2 0 Z2
/\
\/ (Г ) S2 0 Z2
в*
1** О S2 Z2 Z2 ® Z2
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
179
Таблица 3.2 (продолжение).
Атом /-граф Род Sym Sym
W <1 U> S2 Z2 Z2 ® Z2
О!
\/ «KI) S2 0 Z2
о2
/1\
\1/ С Do S'2 0 Z2
^2
/\
\/ О^Н) S'2 Z2 Z2 Ф Z2
^3
/1\
\1/ ОХР S'2 Z2 Z2 Ф Z2
^3
/\
щ А S'2 Z3 D3
//\\
W и S2 Z3 D3
Н\
\/ а®0 S2 0 Z2
Щ
/1\
\1/ 0° S2 0 Z2
Щ
Л
1** о-о S2 Z2 Z2 Ф Z2
Bi
/\
\/ < J> s2 Z2 Z2 Ф Z2
**
1
1** сК1 s2 0 Z2
В2
Л
180
Глава 3
Атом /-граф Род Sym Sym
\/ ( D S2 0 Z2
в?
к €> iji 2 0 Z2
\/ © S2 0 Z2
*
С2
Л
