Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Отметим еще одно важное обстоятельство. Замены систем координат на атомах фиксированной семьи никак не влияют на числа ©j, заданные на других семьях. Таким образом, мы можем независимо провести описанную процедуру для каждой семьи по отдельности.
Более того, ту же самую процедуру мы можем провести не только на семьях, но и на всех остальных кусках молекулы, получающихся в результате разрезания ее по конечным ребрам. Для таких кусков мы можем определить числа ©j точно по тому же правилу. В случае семьи мы использовали при построении равенство XX® i — ®*) = 0? которое в данном случае отсутствует. Однако, такое равенство легко изготовить искусственным способом. Действительно, рассматриваемый кусок молекулы, не будучи семьей, обязательно содержит атом А. Делая на граничном торе этого атома замену Л' = Л, ji' — ji + к\, мы видим, что число © на выходящем из этого атома ребре изменится на к, в то время как все остальные числа ©j никак не изменяются. Ясно, что подбирая к подходящим образом, мы добьемся равенства XX®i — ®*) = 0- После этого рассуждения проводятся так же как в случае семьи.
Мы утверждаем, что после сделанных замен все матрицы склейки совпали. Действительно, мы уже добились того, что на всех конечных ребрах имеют место равенства
'(Xi ai' и Г St] Г
Ув'Л L вЛ L в'Л
Кроме того, по условию, (тгЧ mod 1 = (—у ] mod 1 и sign/3j = sign(3[. От-
^ Рг *
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
195
сюда, очевидно, следует, что щ = а\ и /3{ = (3\. Таким образом, первые строки матриц Ci и С[ совпали. Поскольку detC| = det Ci = —1, то их вторые строки могут отличаться лишь на первую строку, взятую с некоторой кратностью. Поэ-
тому из условия
Si
следует, что они на самом деле тоже совпадают.
A'-1 L /3>.
Рассмотрим, наконец, бесконечное ребро. В силу совпадения инвариантов г и ? на этом ребре мы сразу видим, что у матриц Ci и С[ могут различаться лишь элементы 7j и 7^. Однако мы имеем дополнительное условие
<д - = -— = &¦ = - — yJl ГУ- * / ’
1Хг /у.
г
что гарантирует равенство 7j = 7^.
Итак, в результате сделанных замен допустимых систем координат избыточные оснащения совпали. Предложение доказано. ¦
Теперь мы уже можем сформулировать основную теорему этой главы.
Теорема 4.1 (см. [216]). Две интегрируемые системы (v, Q) и (v', Q') лиувиллево эквивалентны в том и только в том случае, когда их меченые молекулы W* и W*' совпадают.
Доказательство.
Утверждение теоремы, очевидно, получается комбинацией предложения 4.1 и предложения 4.2. ¦
Примеры и методы вычисления молекул мы подробно опишем ниже.
4.5. Влияние ориентаций
Отметим, что при построении меченой молекулы W* мы использовали ориентации многообразия Q3, критических окружностей интеграла / и ребер молекулы. При изменении любой из этих ориентацией меченая молекула W* будет, вообще говоря, меняться. В этом параграфе мы опишем формальные правила, показывающие, что происходит с меченой молекулой при заменах ориентаций.
4.5.1. Изменение ориентации на ребре молекулы
а) При таком изменении ориентации матрица склейки С меняется на обратную С-1.
б) В случае бесконечного ребра метки г = оо и е не меняются, в частности, ребро остается бесконечным. В случае конечного ребра метка г =
= {ф} m°d 1 заменяется на метку г* = mod 1, где S однозначно определяется из условия (а.5 — 1) mod /3 = 0. Здесь мы предполагаем, что а и (3 взаимно просты. Метка е на ребре не меняется. Поскольку изменения касались матрицы склейки только на одном ребре молекулы, то это никак не затрагивает меток г и ? на всех остальных ребрах.
в) Инварианты п на семьях молекулы при этом тоже не меняются.
196
Глава ^
Таким образом, изменение ориентации на ребре молекулы приводит к изменению лишь одной метки г, стоящей на данном ребре. Чтобы не создавать дополнительных сложностей, мы договоримся считать совпадающими две меченые молекулы, полученные друг из друга заменой ориентаций на некоторых ребрах.
4.5.2. Изменение ориентации 3-многообразия Q
а) на зеркально симметричный. Другими словами, мы должны рассмотреть те же атомы, но заменить их ориентацию на противоположную.
б) При изменении ориентации изоэнергетической поверхности Q3 меняются
допустимые системы координат. А именно, для седловых атомов — меняется знак второго базисного цикла а для атомов типа А — меняется знак первого базисного цикла А. В результате на ребрах между двумя седловы-ми атомами и на ребрах между двумя атомами типа А матрица перехода С = ( * г ) приобретет вид С' = .На ребрах между седловым
Выделим два случая.
1) Ребро соединяет атомы одного типа, т. е. либо А с А, либо седло с седлом. Здесь в случае конечного ребра, т. е. когда /3^0, метки г и е меняют знаки. В случае же бесконечного ребра, т. е. когда /9 = 0, метки г и ? не меняются.
