Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
ft = ш(х, у) + d(p A dt,
где ш(х, у) — симплектическая структура на Р2, выбранная так, чтобы ориентация на U х 7, задаваемая формой ft, совпадала с фиксированной заранее ориентацией на М4.
В случае же косого произведения Р2х S1 3-атом U является результатом склейки двух оснований прямого произведения Р2 х [0, 2п] по инволюции т: Р2 —У Р2, сохраняющей функцию f(x, у) на поверхности Р2. В этом случае симплектическая структура на U х I задается той же самой формулой
ft = ш(х, у) + d(p A dt,
где (p — координата на отрезке [0, 27т], at — координата на интервале 7. Симплектическая структура ш(х, у) должна быть инвариантна относительно инволюции т. Такая форма ш всегда существует. Достаточно взять форму вида ш = а + т*а, где а — любая невырожденная 2-форма на Р2. В силу инвариантности ш построенная нами форма ft корректно определена на всем U х 7, хотя для ее записи мы первоначально использовали локальные координаты х, у, (р.
В итоге мы построили симплектическую структуру в окрестности каждого особого слоя слоения Лиувилля. Нам осталось продолжить ее на ту часть 4-многообразия М4, которая соответствует ребрам молекулы W, т. е. на семейства
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
199
вида Т2 х Е х 7. Здесь интервалы Е отвечают ребрам молекулы, т. е. однопараметрическим семействам торов Лиувилля Т2. Эти семейства получаются из Q3 выбрасыванием из него (окрестностей) особых слоев слоения Лиувилля.
Шаг 3. Теперь нужно сшить симплектические структуры, построенные нами на отдельных 4-атомах U х 7. Из сказанного выше вытекает, что симплектическая структура уже задана на той части прямого произведения Т2 х Е х 7, которая отвечает окрестностям концевых точек интервала Е (рис. 4.9).
Лемма 4.7 (Лемма о сшивании симплектических структур).
Пусть X = Т2 х [а, Ъ] х [—е, е] — двухпараметрическое семейство торов Лиувилля, и пусть на Ха = Т2 х [а, а + 5] х [—е, е] и на Хь = Т2 х [b — S, Ь] х [—е, е] уже заданы две симплектические структуры и П2, относительно которых имеющиеся здесь слоения на 2-торы являются лагранжевыми. Пусть ориентации на Т2 х [а, Ъ] х [—е, е], задаваемые формами и ft2, одинаковы. Тогда на всем семействе Т2 х [а, Ъ] х [—е, е] существует симплектическая структура И, ограничения которой на две указанные области совпадают с 1)i uft2, и для которой слоение на 2-торы на всем Т2 х [а, Ъ\ х [—е, е] тоже является лагранжевым. Доказательство.
Фиксируем базис на торе Т2 из рассматриваемого семейства и распространим этот базис на каждый тор из этого семейства (по непрерывности). Согласно теореме Лиувилля, на двух подобластях Ха и Хъ существуют переменные действие-угол Si, s2, (fi, (f2, отвечающие фиксированному базису на торах. Поскольку на всех торах определен один и тот же базис, мы можем гладким образом продолжить координаты (pi и (р2 на все торы семейства X. Таких способов продолжения, конечно, много. Выберем и фиксируем один из них.
Распространим теперь и функции Si и $2 на все семейство X. Поскольку функции Si и s2 должны быть постоянны на 2-торах, то в действительности их достаточно определить как функции на двумерном семействе параметров, т.е. на прямоугольнике [а, Ъ] х [—е, е]. Следовательно, задача сводится к следующей. Нужно продолжить уже имеющееся отображение двух полосок (рис. 4.9) в плоскость до отображения, заданного уже на всем прямоугольнике. Искомое отображение не должно иметь особенностей и должно быть погружением прямоугольника в плоскость (рис. 4.10). Это можно сделать, поскольку знаки якобианов двух отображений, заданных на двух полосках, совпадают. Это условие, как нетрудно видеть, в точности эквивалентно тому, что симплектические структуры fix и fi2 задают одинаковую ориентацию.
Мы получаем, таким образом, погружение прямоугольника [а, Ъ] х [—е, е] в плоскость с координатами si и s2. В результате si и s2 мы можем рассматривать в каждой точке как регулярные координаты и определить симплектическую структуру ?1 на всем семействе X естественной формулой
U = dsi A dip 1 + ds2 A dip2.
200
Глава ^
Эта форма, очевидно, удовлетворяет всем необходимым требованиям. Лемма 4.7 доказана. ¦
Шаг 4. Итак, с помощью леммы о сшивании мы можем построить симплектическую структуру в целом на многообразии М4 = Q3 х I таким образом, чтобы имеющееся на нем слоение стало лагранжевым. Теперь для построения искомой гамильтоновой системы достаточно в качестве гамильтониана Н взять параметр t на интервале I. Меченая молекула, отвечающая изоэнергетической поверхности, по построению совпадает с W*, что и требовалось.
Замечание. Построенная система на самом деле является резонансной в окрестности сингулярных слоев. Чтобы устранить этот недостаток, нам достаточно слегка возмутить построенную систему, например, следующим образом
Н -»• Н + е/,
