Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Нам остается вычислить значение r-метки. Сформулируем полезную лемму. Лемма 4.8. Рассмотрим произвольное ребро е какой-либо молекулы W и пусть (А+, ц+) и (А-, ц~) — допустимые системы координат, отвечающие двум атомам, соединенным этим ребром. Будем считать, что все эти циклы лежат на одном и том же торе Лиувилля, в середине ребра. Рассмотрим следующие три важных случая.
а) Если циклы \+ и \~ не пересекаются, т. е. гомологичны на торе, то г = оо.
б) Если циклы \+ и \~ пересекаются ровно в одной точке, то г = 0.
в) Если циклы Х+ и Х~ имеют индекс пересечения 2, то г = 1/2-
Во всех этих трех случаях метка г не зависит от выбора ориентаций на
многообразии Q3, на ребрах молекулы и на критических окружностях.
Доказательство леммы сразу вытекает из определения г-метки. ¦
Применим эту лемму для подсчета r-метки в случае ЖР3. Представим ЖР3 в виде склейки двух полноторий А+ и А-, являющихся прямыми произведениями двух полусфер и S2 на слой S1 расслоения ЖР3 —у S2. Другими словами, разрезая базу S2 пополам, мы получаем тривиальные расслоения над полусферами А+ ^ Si и А- ^ S2_ . Граничным тором полноторий А+ и А- является прямое произведение экватора на касательную окружность. Нам нужно нарисовать на этом торе циклы А+ и А-. Ясно, что для этого нужно задать на экваторе 2-сферы, два гладких векторных поля из единичных касательных векторов.
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
203
Конец вектора прочерчивает цикл на торе. Напомним, что циклы А+ и А- должны стягиваться в точку, каждый в своем полнотории. Следовательно, искомые векторные поля нужно выбрать так, чтобы они гладко продолжались с экватора на весь соответствующий диск (полусферу). Такие два поля изображены на рис. 4.11. Они перенесены нами на плоскость посредством стереографической проекции. Первое поле, очевидно, продолжается внутрь заштрихованного диска, который является образом, например, нижней полусферы. Второе поле определено на дополнении к первому диску
и, очевидно, продолжается на верхнюю полусферу. Эти же поля изображены на рис. 4.11 и на соответствующих полусферах. Сравнивая эти два поля на экваторе, мы видим, что концы их векторов прочерчивают на торе две окружности, пересекающиеся ровно в двух точках. Эти точки, а точнее, отвечающие им два вектора, указаны на рис. 4.11. Отсюда следует, что индекс пересечения этих циклов равен 2 (если бы индекс равнялся нулю, то одно поле на экваторе можно было бы продеформировать в другое, что невозможно, поскольку на 2-сфере нет непрерывного ненулевого векторного поля).
Отметим, кстати, что эта возникшая здесь двойка является просто числом Эйлера касательного расслоения к 2-сфере. Итак, поскольку индекс пересечения циклов А+ и А- равен двум, то г = У2, что и требовалось доказать. Тем самым, мы построили лиувиллево слоение на ЖР3 с требуемой молекулой.
4. Рассмотрим прямое произведение S1 х S2 и слоение Лиувилля на нем, порожденное обычной функцией высоты на 2-сфере S2, стандартно вложенной в Ж3. Ее линии уровня на 2-сфере — это параллели, а северный и южный полюсы — критические точки: максимум и минимум. Умножая линии уровня на окружность, получаем слои слоения Лиувилля. Исчезающий цикл в первом полнотории и исчезающий цикл во втором полнотории на самом деле один и тот же. А именно, это — экватор сферы, умноженный на фиксированную точку окружности-слоя. Следовательно, здесь г = оо.
5. Зададим слоение Лиувилля с требуемой молекулой W на линзовом пространстве LPj q. Линза LPj q может быть получена как фактор-пространство сферы S3 = {\z\2 + |гу|2 = 1} по действию группы Zp, образующая которой | действует так: ?: (z, w) -у (ze~27riq/p,we27rip). Напомним, что сфера S3 представлена как объединение двух полноторий, общий граничный тор которых задается как нулевой уровень гладкой функции f(z, w) = \z\2 — |г/;|2. Тогда полнотория А+ и А-задаются соотношениями:
А- = (И ^ N = 1 — N2} и А+ = {N =1 - \w\2, N ^
204
Глава ^
Очевидно, что эти полнотория инвариантны относительно действия группы Ър. Причем после факторизации сферы они превращаются снова в два полнотория, в объединение которых распадается теперь уже линзовое пространство LP: q. При этом функция f(z, w) на сфере порождает гладкую функцию на линзе LP:q. Уровни этой функции задают некоторое слоение на этой линзе. Как мы сейчас покажем, оно и будет искомым, т.е. отвечающая ему молеку-
ла А
Рис. 4.12
А будет иметь метку г =
Для этого изучим более детально действие группы Ър на граничном то-
\/2 \/2 ~ ре Т2 = {|г| = 1^1 = “2”} в сФеРе ^3' Нужно взять фактор-тор Т2 = T2/Zp
и рассмотреть на нем две допустимые системы координат (А+, н+) и ? А*-)-Ясно, что в качестве исчезающих циклов А+ и А- мы можем взять образы ме-
ридианов полноторий А+ и А-, т.е. образы циклов {z и {w = const, г = zoetip}, соответственно.
const, w = woetip}
Представим тор Т2
{И = #
\w\
как фактор-пространство евкли-
