Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
где / — произвольная функция, постоянная на слоях. Ясно, что сколь угодно малым возмущением такого вида можно сделать систему нерезонансной, не меняя при этом топологии изоэнергетической поверхности и отвечающего ей слоения Лиувилля, т. е. молекулы W*.
Это замечание завершает доказательство теоремы реализации. ¦
Таким образом, теоремы 4.1 и 4.2 дают полную лиувиллеву классификацию всех интегрируемых гамильтоновых систем указанного выше типа.
Следствие.
1) Имеется взаимно-однозначное соответствие между классами лиувиллевой эквивалентности интегрируемых систем и мечеными молекулами. В частности, множество классов лиувиллевой эквивалентности интегрируемых систем дискретно (счетно), т.е. не имеет непрерывных параметров.
2) Имеется алгоритм перечисления всех меченых молекул, т. е. классов интегрируемых систем.
3) Имеется алгоритм сравнения меченых молекул, т.е. алгоритм ответа на вопрос: являются ли две соответствующие им интегрируемые системы лиувиллево эквивалентны или нет.
Алгоритмы перечисления и сравнения молекул W без меток были уже описаны выше. Здесь следует лишь добавить рациональные и целочисленные метки, являющиеся дополнительными счетными параметрами.
4.7. Простые примеры молекул Предложение 4.3.
Рис. 4.10
1) Молекула А-----А всегда задает 3-многообразие, склеенное из двух полно-
торий. Каждое из полноторий стандартным образом расслоено на 2-торы,
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
201
что и задает слоение всего 3-многообразия на торы Лиувилля. Это слоение имеет ровно два особых слоя — окружности, являющиеся осями полното-рий.
2) Молекула А------А с меткой г = 0 задает трехмерную сферу S3.
3) Молекула А------А с меткой г = ^ задает трехмерное проективное про-
странство ЖР3.
4) Молекула А------А с меткой г = ос задает прямое произведение S1 х S2.
5) Молекула А------А с меткой г = где q < р и р ^ 3, задает линзовое
пространство Lp^q.
Доказательство.
1. Поскольку 3-атом А представляет собой полноторие, то молекула А------А,
очевидно, задает 3-многообразие как результат склейки двух полноторий по их граничным торам. Поэтому 1-е утверждение сразу вытекает из определения молекулы.
В силу теоремы 4.1 о взаимно-однозначном соответствии между мечеными молекулами и слоениями Лиувилля, для доказательства следующих утверждений мы построим модельные слоения Зейферта на S3, ЖР3, S1 х S2 и Lp^q с требуемыми молекулами.
2. Зададим на граничных торах полноторий допустимые базисы A-, fi~ и А+, (j,+ . Равенство метки г нулю означает, что меридиан первого полнотория отождествляется с некоторой параллелью второго полнотория и наоборот. Поэтому матрица склейки с помощью допустимой замены координат может быть приведена к виду
0 ±1\ ±1 0 ) '
В результате получается 3-сфера. В самом деле, реализуем 3-сферу в двумерном комплексном пространстве С2(z, w) уравнением \z\2 + \w\2 = 1. Рассмотрим на ней гладкую вещественную функцию / = \z\2 — \w\2. Ее нулевая поверхность
/о
уровня {/ = 0} является двумерным тором Т2 = {|^| = \w\ = ~2~}- Этот тор
Л)
разбивает сферу в объединение двух полноторий А_ = {|^| ^ \w\ = 1 — \z\2}
и А+ = {\z\ = 1 - \w\2, \w\ ^ ^}.
Каждое из них расслоено на концентрические торы, представляющие собой поверхности уровня / = const ф ±1. Уровень / = +1 является осью одного из полноторий и одновременно критической окружностью, на которой / имеет максимум. Уровень / = — 1 — это ось другого полнотория и критическая минимальная окружность для /. На каждом торе возникающего слоения имеется один исчезающий цикл. Второй базисный цикл при стремлении тора к осевой окружности превращается в эту окружность.
202
Глава ^
Исчезающий цикл на каждом торе полнотория А+ задается уравнением z = = const. При деформации этого цикла, при которой функция / на цикле стремится к 1, цикл приближается к оси полнотория А-. С другой стороны, исчезающий цикл на каждом торе второго полнотория задается уравнением w = const. Смещая этот цикл так, чтобы / стремилась на нем к —1, мы превращаем цикл в ось полнотория А+. Поэтому матрица, задающая склейку граничных торов полноторий имеет вид
Легко видеть, что знак перед единицей может быть изменен путем замены ориентации базисных циклов, что, разумеется, никак не влияет на топологию.
3. Рассмотрим теперь случай А-----А с меткой г = У2. Здесь удобно реализо-
вать проективное пространство ЖР3 в виде расслоения единичных касательных векторов к стандартной 2-сфере S2 в Ж3. Рассмотрим теперь на 2-сфере стандартную функцию высоты и поднимем ее на ЖР3 естественным образом, считая постоянной на слоях расслоения ЖР3 —> S2. Получится гладкая функция /, критические подмногообразия которой совпадают со слоями-окружностями расслоения, проектирующимися в северный полюс (максимум функции) и в южный полюс (минимум функции). Остальные слои являются двумерными торами, поскольку они суть произведения параллелей 2-сферы на окружность касательных векторов. Рассмотрим слоение ЖР3 на поверхности уровня функции /. Очевидно, что молекула, отвечающая этому слоению, имеет требуемый вид А---------А.
