Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
2) Избыточные оснащения на молекуле W — W’ эквивалентны.
Комментарий. Это предложение можно переформулировать еще и так. Существует естественное взаимно-однозначное соответствие между классами лиувил-левой эквивалентности интегрируемых систем и классами эквивалентности избыточных оснащений молекул.
Доказательство.
В одну сторону утверждение очевидно: если две системы лиувиллево эквивалентны, то их молекулы совпадают и их избыточные оснащения эквивалентны. Докажем обратное. Пусть две системы имеют эквивалентные избыточные оснащения на совпадающих молекулах. Тогда, подбирая допустимые замены координат, можно добиться того, что матрицы склеек у двух систем будут совпадать. Совпадение же самих молекул гарантирует, что два слоения Лиувилля склеены из одинаковых кусков, т. е. из одних и тех же 3-атомов. Совпадение матриц склеек означает, что эти куски склеиваются одинаково, что и дает один и тот же результат — одно и то же слоение на одном и том же 3-многообразии. Предложение доказано. ¦
После этого предложения 4.1 проблема лиувиллевой классификации интегрируемых систем на изоэнергетических 3-поверхностях сводится к описанию инвариантов избыточных оснащений молекул относительно действия группы замен допустимых систем координат. Эта задача в определенном смысле — уже алгебраическая. Явное действие группы замен допустимых координат на избыточных оснащениях, т. е. на матрицах, задается леммами 4.1 и 4.3. Сейчас мы укажем полную систему инвариантов этого действия.
4.3. Инварианты, числовые метки г, е, п
Не давая пока полного доказательства, сообщим конечный результат, а именно, опишем полный набор инвариантов действия группы замен. Этими инвариантами будут некоторые числовые метки, которые вычисляются явно через матрицы С{ и обладают тем свойством, что, зная их, можно однозначно восстановить все матрицы склейки с точностью до замены допустимой системы координат.
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
191
Si
4.3.1. Метки Г{ И ?i
Сопоставим матрице Ci следующие две числовые метки.
Определение 4.3. Числовой рациональной меткой гг- на ребре е* молекулы W называется:
Г -тг~ mod 1 G Q/Z, если /Зг- ф О,
Г* = < №
[символ оо, если Pi = 0.
Определение 4.4. Числовой целочисленной меткой Ei на ребре ег- молекулы W называется:
{signPi, если pi ф 0,
sign а*, если Pi — 0.
Лемма 4.5. Метки гг- и ?г- являются инвариантами действия группы замен допустимых систем координат на множестве всех избыточных оснащений, т. е. матриц Ci.
Доказательство.
Легко видеть, что каждая матрица Ci при замене допустимых координат преобразуется по следующему правилу
с> = (°“ f) ->¦ с. = (1 h f) (1 0
\Ъ bi) \-Щ 1) \Ъ Sij 1
где kf и кг~ — некоторые целые числа. Отсюда видно, что
/ OLi+ К & Pi \
\7 i + к^ Si - kf (Xi - к? kl pi Si - kf pi J
Следовательно, при допустимых заменах указанные метки действительно не меняются. Лемма доказана. ¦
4.3.2. Метки и семьи в молекуле
Метка п может определяться несколькими слегка различными способами. Эта ситуация хорошо известна в теории инвариантов. Инвариант можно выбирать неоднозначно и его конкретный выбор диктуется спецификой задачи. Поэтому все определения метки п в принципе эквивалентны, и каждый способ удобен для определенного класса задач. Мы выберем в качестве основного определения ту форму, которая наиболее удобна для построения общей теории. Позже мы дадим еще одно определение метки п и укажем явную формулу, связывающую эти две метки.
Назовем бесконечным ребром молекулы ребро с меткой г*, равной оо. Остальные ребра будем называть конечными. Разрежем молекулу по всем конечным ребрам. В результате молекула распадется на некоторое число связных кусков.
192
Глава ^
?&/з:0е?ящ,ее
Рис. 4.8
0; = <
А
А
Определение 4.5. Мы будем называть семьями те из них, которые не содержат атомов А.
Например, если все ребра молекулы конечны, то каждый ее седловой атом является по определению семьей.
Рассмотрим отдельную семью. Все ее ребра можно разделить на три класса: входящие, выходящие и внутренние (см. рис. 4.8).
Определение 4.6. Сопоставим каждому из этих ребер е* целое число 0* по следующему правилу:
если вг — выходящее ребро, если е* — входящее ребро,
Ъ
Oti
если е* — внутреннее ребро.
Определим теперь для каждой семьи целое число, полагая
пк =
где сумма берется по всем ребрам данной семьи, а к — номер семьи. Отметим, что пи — всегда целое число, так как для внутреннего ребра всегда имеем: |ск* | = 1, поскольку здесь /5* = 0. Напомним, что на внутренних ребрах метка ri равна бесконечности.
