Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Для дальнейшего нам потребуется другой способ описания допустимой системы координат на граничных торах седловых 3-атомов из случая 3, т.е. с неори-ентируемыми сепаратрисными диаграммами. Идея состоит в следующем. Оказывается, можно очень естественным способом построить циклы допустимой системы координат, используя для этого дубль Р базы расслоения Зейферта (см. выше). Мы будем пользоваться тем, что расслоение Зейферта в случае 3 обладает «удвоенным» сечением, то есть в него можно вложить поверхность Р так, что любой неособый слой расслоения Зейферта пересекает Р ровно в двух точках, а особый слой — в одной. Такое вложение определяет естественную инволюцию т: Р —> Р такую, что база Р слоения Зейферта является фактор-пространством Р = Р/т. См. рис. 4.5(а,Ь). В реальных примерах такое сечение часто можно построить явно.
Рассмотрим вложенный дубль Р с U(L) и его границу дР = Р П dU(L). Пусть = PnTi — часть границы дР, лежащая на торе Т{ С dU(L).
Возможны два случая. Первая возможность состоит в том, что Д* представляет собой объединение двух отдельных циклов, каждый из которых пересекается со слоем А; расслоения Зейферта в одной точке и, следовательно, является
Рис. 4.4
186
Глава ^
сечением расслоения Зейферта на граничном торе Tj. Во втором случае Д* является связным циклом, имеющим индекс пересечения 2 со слоем А.
а) Ь)
Рис. 4.5
Попытаемся построить из циклов Hi нужные нам циклы Hi допустимой системы координат. Можно поступить, например, следующим образом. В первом случае в качестве цикла Hi просто взять одну из связных компонент Hi, а во
втором положить [ii = ^(Дг + Ai). Локально на каждом граничном торе построенные циклы Hi будут полностью удовлетворять требуемым свойствам, т. е. будут настоящими сечениями расслоения Зейферта на каждом из граничных торов. Однако, в целом эта конструкция может отличаться от описанного выше способа построения допустимой системы координат. Чтобы оба способа построения циклов Hi были эквивалентны между собой, один из этих циклов нужно подправить, добавив к нему цикл кратный слою А. При этом кратность должна выбираться так, чтобы выполнялось следующее соотношение:
х>=К1>Н=т’
г г
где s — число критических окружностей в U(L) с неориентируемыми сепарат-рисными диаграммами.
Комментарий. Это соотношение имеет естественный гомологический смысл, который заключается в следующем. Удалим из U(L) малые окрестности особых слоев и рассмотрим в получившемся трехмерном многообразии U(L) две вложенные поверхности Р и Р, где Р — настоящее сечение расслоения Зейферта, которое мы использовали при первом способе построения допустимой системы координат, а Р — вложенный дубль. Напомним, что Hi = Р П Tj и Hi = Р П Tj.
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
187
Характер поведения поверхностей Р и Р вблизи особого слоя описывается использованным выше соотношением А = к — 2ц, где ц — цикл, высекаемый поверхностью Р, к — цикл, высекаемый поверхностью Р. Учитывая это равенство, легко увидеть, что обсуждаемое соотношение эквивалентно следующему:
дР = ±дР.
С топологической точки зрения это соотношение, в частности, означает, что индекс пересечения дР и дР на границе dU(L) равен нулю. Это условие должно, разумеется, выполняться (см. ниже рис. 4.6 и комментарий к нему).
Перейдем теперь к следующему вопросу. Как связаны друг с другом различные допустимые системы координат? Следующая лемма дает ответ. Она справедлива как для случая 2, так и для случая 3.
Лемма 4.3. Пусть (А*, /_ц) — допустимая система координат на граничных торах Ti седлового атома с ориентируемыми или неориентируемыми сепаратрисными диаграммами критических окружностей. Для того, чтобы другая система координат (А^, ц'{) на этих же торах была допустимой, необходимо и достаточно, чтобы для всех г выполнялись соотношения:
\К = Ai}
fJ'i — f-li “Ь kiXi, где hi — целые числа такие, что ^ к{ = 0.
г
Доказательство.
Пусть даны две допустимые системы координат. Докажем, что они удовлетворяют указанным соотношениям. Первое равенство очевидно, поскольку Ai — однозначно определенный на 3-атоме слой расслоения Зейферта. Соотношение ц\ — in + ki\i тоже очевидно, и в доказательстве нуждается лишь равенство: ^ ki = 0. Рассмотрим два произвольных допустимых сечения 3-атома Р и Р'. Напомним, что для атома без звездочек любое сечение является допустимым, а для атомов со звездочками определение допустимого сечения было дано выше. Оба сечения высекают на границе 3-атома два набора циклов: {ui} и дополняющих циклы {А;} и {А^} (соответственно) до допустимых систем координат на граничных торах. Целые числа к{ можно теперь интерпретировать как индексы пересечения циклов //* и ц[, а их сум-му ki — как общий индекс пересечения границ двух площадок Р и Р'. Напомним, что в атомах со звездочками мы удалили трубчатые окрестности особых слоев, на границах которых две площадки Р и Р' совпадают с Рис- 4.6
