Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
точностью до изотопии. Это означает, что такие торы не дают никакого вклада в общий индекс пересечения границ двух площадок. Напомним теперь следующий факт из трехмерной топологии.
188
Глава
Пусть две ориентируемые поверхности Р и Р' лежат внутри ориентируемого 3-многообразия U с краем dU, причем дР и дР' лежат в dU и являются двумя гладкими кривыми. Тогда индекс пересечения этих кривых дР и дР' всегда равен нулю. См. рис. 4.6.
Применяя эту лемму в нашем случае, мы сразу получаем, что ^ к{ равна нулю, поскольку она является индексом пересечения дР и дР'.
Докажем теперь обратное. Пусть дана какая-то допустимая система координат (Л*, fii) и система циклов (А^, /^), задаваемая при помощи формул (1). Докажем, что эти циклы образуют допустимую систему координат. Достаточно показать, что существует допустимое сечение Р', высекающее на границе 3-атома циклы {/^}.
Мы построим искомое сечение Р' из данного нам сечения Р путем последовательных шагов, применяя однотипные операции скручивания. Возьмем два разных граничных тора Т* и Tj и соединим их внутри 3-атома простой дугой а, целиком лежащей на сечении Р (рис. 4.7(a)). Пусть
тг: U(L) —Р
— проекция расслоения Зейферта. Рассмотрим полный прообраз п~1(а) дуги а. Это — некоторое кольцо в U(L), пересекающее сечение Р по дуге а. Разрежем U(L) вдоль кольца п~1(а) и скрутим один из берегов разреза на 27т, после чего снова подклеим к другому берегу разреза (рис. 4.7(b)). Мы получим послойный гомеоморфизм 3-многообразия U(L) на себя, переводящий допустимое сечение Р в некоторое другое допустимое сечение Р'. Результат показан на рис. 4.7(c). Для этих двух сечений число ki равно 1, число kj равно —1, а все остальные к8 равны нулю. Ясно, что такими операциями можно реализовать любой набор чисел {ki} с нулевой суммой. Лемма 4.3 доказана. ¦
Рис. 4.7
Подчеркнем еще раз принципиально важный момент: все допустимые системы координат на граничных торах совершенно равноправны и, наоборот, все другие, не являющиеся допустимыми, системы координат им неэквивалентны. Говоря здесь о равноправии или эквивалентности систем, мы имеем в виду су-
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
189
ществование диффеоморфизма 3-атома на себя, сохраняющего структуру слоения Лиувилля, ориентацию самого атома и ориентацию критических окружностей, в нем содержащихся.
Лемма 4.4.
а) Любые две допустимые системы координат (Xj, /ц) и (Х[, на границе седлового атома U(L) могут быть совмещены посредством подходящего диффеоморфизма атома U(L) на себя, сохраняющего структуру слоения Лиувилля.
б) Обратно, любой диффеоморфизм атома U(L) на себя, сохраняющий слоение Лиувилля, переводит допустимую систему координат (А*, /ц) в другую допустимую систему координат (А'-,
Доказательство.
Лемма вытекает из того факта, что любой автоморфизм седлового атома на себя, сохраняющий слоение Лиувилля, порождается последовательностью описанных выше скручиваний. Другими словами, автоморфизм атома однозначно, с точностью до изотопии, задается образом допустимого сечения Р. Лемма доказана. ¦
4.2. Матрицы склейки и избыточные оснащения молекулы
Итак, мы определили допустимые системы координат на граничных торах каждого атома. Рассмотрим теперь произвольное ребро ег- молекулы W и зададим на нем некоторую ориентацию, например, по возрастанию функции /. Мы разрезали это ребро вдоль некоторого тора Лиувилля и определили на берегах разреза допустимые системы координат, которые мы обозначим теперь через (А~, ц~) и (А+, //+). Знак минус отвечает началу ребра, а плюс — его концу. Рассматривая эти пары циклов как базисы в группе одномерных гомологий, мы получаем естественную матрицу склейки
Ясно, что Ci является целочисленной матрицей с определителем, равным —1. В остальном эта матрица может быть совершенно произвольной.
Легко видеть, что заданием всех матриц склеек мы полностью определяем топологию лиувиллева слоения в целом. Однако, эти матрицы не определены однозначно, поскольку мы можем делать замены допустимых систем координат. Поэтому мы введем следующее важное понятие.
Определение 4.1. Совокупность всех матриц склеек {С{\ мы будем называть избыточным оснащением молекулы W.
190
Глава ^
Рассмотрим теперь произвольную замену допустимых систем координат. Легко видеть, что все такие замены образуют группу, которая естественным образом действует на множестве избыточных оснащений данной молекулы, т. е. на совокупности матриц склеек.
Определение 4.2. Два избыточных оснащения {С{\ и {(7г-} молекулы W назовем эквивалентными, если от одного к другому можно перейти заменой допустимых систем координат на атомах молекулы.
Предложение 4.1. Две интегрируемые системы v на Q и v' на Q' лиувиллево эквивалентны, если и только если выполнены следующие два условия:
1) Их молекулы W и W' совпадают, т. е. системы грубо лиувиллево эквивалентны.
