Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему v — sgrad Н на М4 и отображение момента Т: М4 —у Ж2. Пусть ? — бифуркационная диаграмма и у G Ж2 — произвольная регулярная точка в образе отображения момента. Если ее полный прообраз компактен, то он состоит из некоторого числа торов Лиувилля. Перемещая точку у по плоскости, мы заставляем эти торы как-то двигаться внутри М4. До тех пор, пока точка у остается регулярной, торы Лиувилля деформируются посредством гладкой изотопии. Но в тот момент, когда точка у наталкивается на бифуркационную диаграмму а и пересекает ее, торы Лиувилля, вообще говоря, подвергаются нетривиальной перестройке. Возникает вопрос: как описать типичные бифуркации торов Лиувилля?
Глава 3
173
Как правило, бифуркационная диаграмма состоит из кусочно-гладких дуг и разбивает плоскость Ж2 Е на открытые области регулярных значений, которые выше мы назвали камерами. Типичная бифуркация происходит в случае, когда движущаяся точка у пересекает одну из таких дуг трансверсально во внутренней точке у*, переходя из одной камеры в другую (рис. 3.25).
Чтобы объяснить, какие именно бифуркации нас сейчас интересуют, рассмотрим движение точки по плоскости Ж2 как параметризованную кривую y(t), соединяющую точки у0 и у\ из разных камер и пе- Рис. 3.25
ресекающую трансверсально бифуркационную диаграмму в точке у*.
Предположим, что прообраз кривой y(t) (рис. 3.25) компактен в М4. Пусть далее, гладкой дуге бифуркационной диаграммы а, на которой лежит точка у*, отвечают в М только невырожденные критические точки, в которых ранг отображения момента падает ровно на единицу. Это условие выполняется для большинства известных сегодня интегрируемых гамильтоновых систем. Назовем такие бифуркации торов Лиувилля невырожденными. Они устойчивы в том смысле, что при малом шевелении кривой y(t) тип бифуркации торов Лиувилля не меняется.
Мы утверждаем, что все такие бифуркации торов Лиувилля описываются в точности 3-атомами. Это означает, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством всех 3-атомов и типами невырожденных бифуркаций торов Лиувилля.
Поясним это утверждение. Рассмотрим прообраз кривой y(t) в М4. Это гладкое трехмерное многообразие с краем, которое можно представлять как однопараметрическое семейство инвариантных (вообще говоря, несвязных) подмногообразий, испытывающих при некотором значения параметра бифуркацию. Это трехмерное многообразие можно проинтерпретировать как 3-атом U(L). В качестве функции / на нем следует взять параметр t. При этом L (особый слой слоения Лиувилля) является прообразом точки у* при отображении момента. Невырожденность перестройки торов Лиувилля эквивалентна здесь тому, что / является функцией Ботта на U(L).
3.8. Молекулы интегрируемой системы
Пусть Q3 — компактная неособая изоэнергетическая 3-поверхность интегрируемой системы v = sgrad Н и пусть / — второй независимый интеграл.
В дальнейшем, на протяжении всей книги мы будем рассматривать интегрируемые системы, удовлетворяющие следующим естественным условиям.
1) Изоэнергетическая 3-поверхность Q является компактной и неособой.
2) Система v = sgrad Н является нерезонансной на Q.
174
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
3) Система v обладает боттовским интегралом / на Q.
4) Система v топологически устойчива на Q.
Кроме этих условий, мы временно предположим, что интеграл / не имеет критических бутылок Клейна, а критические торы (если они существуют) будем рассматривать как неособые. Конструкцию, позволяющую включить бутылки Клейна в эту теорию, мы опишем в следующей главе.
Теперь понятие молекулы можно ввести двумя способами.
Первый способ. Рассмотрим слоение Лиувилля на Q. Сначала построим аналог графа Риба. Для этого рассмотрим базу слоения Лиувилля, т.е. фактор-пространство Q/р, где р — естественное отношение эквивалентности, отождествляющее точки, лежащие на одном и том же слое слоения Лиувилля. Получается некоторый граф. Его вершинам, очевидно, соответствуют особые слои слоения Лиувилля. А ребра графа изображают однопараметрические семейства торов Лиувилля (не содержащие бифуркаций).
Из предыдущего видно, что каждая вершина графа взаимно-однозначно соответствует некоторому 3-атому, т.е. некоторой перестройке (бифуркации) торов Лиувилля. Следовательно, мы можем снабдить каждую вершину графа символом, соответствующим этому 3-атому (или 2-атому, что то же самое в силу теоремы 3.4). Удобно пользоваться символьными обозначениями, приведенными в таблице атомов 3.1 (см. выше). Говоря более формально, мы сопоставляем каждой вершине графа соответствующий 2-атом.
В результате получится граф, вершинами которого являются 2-атомы. Напомним, что 2-атом — это двумерная поверхность Р с краем. Как и в предыдущей главе, говоря о том, что каждой вершине графа соответствует 2-атом, мы дополнительно подразумеваем, что граничные окружности поверхности Р находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии с концами ребер графа, примыкающими к данной вершине. Мы считаем, что для каждой вершины графа такое соответствие (между ребрами и граничными окружностями) фиксировано.
