Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Определение 3.9. Получающийся граф W будем называть молекулой интегрируемой системы, отвечающей данной неособой компактной изоэнергетической 3-поверхности Q.
С формальной точки зрения введенное нами только что понятие молекулы совпадает с понятием молекулы, уже знакомым нам по главе 2. Единственное отличие состоит в том, что сейчас атомы могут иметь вершины-звездочками.
Понятие равенства (совпадения) двух молекул формулируется точно так же, как и в определении 2.22 главы 2.
Молекула W интегрируемой системы изображает структуру слоения Лиувилля на данной изоэнергетической 3-поверхности Q. Очевидно, что молекула W является инвариантом системы с точки зрения лиувиллевой эквивалентности, т.е. молекулы двух лиувиллево эквивалентных интегрируемых систем совпадают.
Отметим, что молекула W не зависит от конкретного выбора второго интеграла /.
Глава 3
175
Второй способ определения молекулы. Рассмотрим интеграл / на Q и все особые слои Li слоения Лиувилля, т. е. связные компоненты особых уровней функции /. Разрезая Q вдоль регулярных слоев функции /, т. е. вдоль торов Лиувилля, можно разбить Q на трехмерные куски U(Li), каждый из которых содержит ровно один особый слой Li (рис. 3.26). Ясно, что каждое 3-многообразие U(Li) является регулярной окрестностью связного особого слоя Li. Поэтому каждое трехмерное многообразие U(Li) является 3-атомом. Построим граф, вершинами которого являются эти 3-атомы, а ребра соответствуют тем торам Лиувилля, по которым были сделаны разрезы. Поясним, что каждый 3-атом имеет концы, отвечающие граничным торам Лиувилля. И мы просто соединяем ребрами те концы атомов, которые отвечают склеиваемым торам Лиувилля (при восстановлении разрезов).
Таким образом, молекула W описывает разложение 3-многообразия Q в объединение 3-атомов. Другими словами, зная молекулу, мы знаем, из каких расслоений Зейферта склеено данное 3-многообразие Q, и в каком порядке нужно склеивать граничные торы зейфертовых кусков. Хотя полностью восстановить топологию Q по молекуле W, вообще говоря, нельзя, W несет в себе наиболее существенную часть информации о слоении Лиувилля на Q. Это означает, что молекула W описывает тип слоения Лиувилля с точностью до грубой лиувилле-вой эквивалентности.
Напомним, что две системы v на Q и v' на Q' называются грубо лиувиллево эквивалентными, если от одного слоения Лиувилля можно перейти к другому путем последовательных скручиваний слоения Лиувилля (см. главу 1). Для этого нужно разрезать Q по торам Лиувилля и склеивать обратно получающиеся берега разрезов посредством новых диффеоморфизмов граничных торов Лиувилля. При этом нужно следить за тем, чтобы каждая такая склейка сохраняла исходную ориентацию Q.
Теорема 3.5. Пусть (v, Q) и (vr, Q') — две интегрируемые системы и W, W’ — отвечающие им молекулы. Тогда системы v и v’ грубо лиувиллево эквивалентны (с учетом ориентации) тогда и только тогда, когда молекулы W и W’ совпадают.
Рис. 3.26
176
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
Доказательство.
Этот факт сразу следует из определения молекулы W. В самом деле, совпадение молекул означает, что слоения Лиувилля на Q и Q' склеены из одних и тех же компонент. Отличие заключается лишь в том, что граничные торы этих компонент могут склеиваться при помощи разных диффеоморфизмов. Но это различие можно устранить при помощи скручиваний. Теорема доказана. ¦
3.9. Сложность интегрируемых систем
Пусть, как и выше, v — интегрируемая гамильтонова система на изоэнергетической поверхности Q, и /: Q > М — ее боттовский интеграл. Обозначим через т общее число всех критических окружностей интеграла /. Удалим из Q все особые слои Li. В результате Q распадется в объединение однопараметрических семейств торов Лиувилля. Пусть п — число таких семейств.
Определение ЗЛО. Пару чисел (га, п) назовем сложностью интегрируемой системы v на Q.
Эту же сложность можно вычислить, исходя из понятия молекулы W, отвечающей (v, Q). Ясно, что га — это молекулярный вес, т.е. сумма всех атомных весов всех атомов, входящих в молекулу. Число п — это попросту количество ребер молекулы W.
Ясно, что сложность (га, п) является инвариантом грубой лиувиллевой эквивалентности.
Теорема 3.6. Число различных молекул фиксированной сложности конечно.
Доказательство сразу следует из того, что число атомов фиксированного атомного веса конечно. Поэтому, если сложность молекул фиксирована, то имеется лишь конечное число атомов, из которых их можно склеить. А для конечного числа атомов есть лишь конечное число вариантов склеек. Теорема доказана. ¦
список всех атомов (алгоритмически построенный нами выше) и начать соединять их концы всеми возможными способами, чтобы не осталось свободных концов. Конечно, здесь мы опираемся на еще не доказанную теорему реализации, утверждающую, что любая абстрактно заданная молекула, составленная из произвольной комбинации атомов, действительно допустима, т. е. реализуется как молекула некоторой интегрируемой системы на подходящем изоэнергетическом многообразии Q в подходящем 4-многообразии М4. Эту теорему мы докажем позже, а здесь лишь сошлемся на нее. Пока же, не касаясь вопроса о реализуемости молекул, можно рассматривать их лишь как абстрактные объекты, составленные из атомов. С этой точки зрения их можно перечислять, сравнивать друг с другом и т. п.
