Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
sgradF = + fi^j sgradН.
Отсюда видно, что векторы sgradF и sgradН либо одинаково ориентированы, либо направлены в противоположные стороны одновременно на всех критических окружностях. В любом случае ориентации на Si, ... , Sk, задаваемые векторным полем sgrad Н, совпадают между собой. Предложение доказано. ¦
Следствие. Если интегрируемая система топологически устойчива, то слои расслоения Зейферта на U(L) могут быть канонически ориентированы так, чтобы на критических окружнос-а) Ъ) с) тях Si, ... , Sk эта ориентация совпа-
дала с направлением гамильтонова по-Рис. 3.16 тока v = sgrad Н.
Как ведут себя интегральные траектории поля sgradН на особом слое Ы
Рассмотрим особый слой L. Выбросим из него все критические окружности Si, ... , Sk интеграла / (т. е. все критические периодические решения). Слой L распадется в несвязное объединение некоторого числа колец. Эти кольца могут быть нескольких типов.
Предложение 3.9. Возможны (с точностью до диффеоморфизма) только следующие три случая (рис. 3.16,);
а) Все интегральные траектории поля v замкнуты на кольце. Этот случай назовем резонансным.
б) Все интегральные траектории незамкнуты, причем граничные окружности кольца являются для каждой из них предельными циклами, имеющими одинаковые ориентации.
в) Все интегральные траектории незамкнуты, причем граничные окружности кольца являются для каждой из них предельными циклами, имеющими противоположные ориентации.
Глава 3
163
Доказательство.
Рассмотрим произвольное кольцо, векторное поле v = sgradН на нем и периодический интеграл F. Тогда на внутренности этого кольца имеем: и = sgradF = = AsgradЯ + ц sgrad/, где А и ц — вещественные числа. Поскольку все интегральные траектории поля и замкнуты с периодом 2-7Г, то мы можем ввести естественные координаты (t, ф) на кольце, где t ? [0, 1],<?> ? Ж. mod 27т, такие,
что и = . Возможны два случая: ц = 0 и ц ф 0. В первом случае все траек-
тории поля v = sgradЯ замкнуты и мы получаем ситуацию, изображенную на рис. 3.16(a). Во втором случае мы имеем:
где a(t) и b(t) — некоторые гладкие функции на отрезке [0,1]. Эти функции
случае a(t) не обращается в ноль на интервале (0, 1) в силу линейной независи-
Проанализируем ее. Функция a(t) обращается в ноль на концах отрезка [0, 1], т.е. на граничных окружностях кольца, поскольку эти окружности являются
сюда же следует, что b(t) принимает на концах отрезка [0, 1] конечные ненулевые значения. Таким образом, функция (p(t), задающая интегральные траектории v = sgradН, определена на всем интервале (0, 1) и стремится к бесконечности при t —у 0 и при t —У 1. Если знаки этих бесконечностей совпадают, мы имеем случай (б) (рис. 3.16(b)), если различны — случай (в) (рис. 3.16(c)). Предложение 3.9 доказано. ¦
Предложение 3.10. Если интегрируемая система топологически устойчива, то особый слой L не имеет колец типа (в).
Доказательство.
Граничные окружности кольца, очевидно, являются замкнутыми интегральными траекториями поля v = sgrad Н. Ясно, что в случае (в) ориентации граничных окружностей, заданные направлением поля v, различны (рис. 3.16-с). Однако, в силу предложения 3.8 ориентации всех критических окружностей, лежащих на данном связном слое L, должны совпадать для топологически устойчивых систем. Полученное противоречие доказывает предложение. ¦
v = sgrad Я = a(t)^ +
быть теперь представлены явной формулой:
164
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
Комментарий. Пусть L — особый слой интегрируемой топологически устойчивой системы. Утверждается, что тогда все кольца этого особого слоя либо одновременно имеют тип (а), либо одновременно имеют тип (б).
В самом деле, достаточно воспользоваться соотношением
и = sgrad F = A sgrad Н + ц sgrad /,
которое выполнено одновременно на всех кольцах особого слоя L. Если ц = О, то траектории векторного поля sgrad Н совпадают в траекториями векторного поля sgrad F и потому замкнуты на всех кольцах особого слоя. Напротив, если ц ф 0, то траектории поля sgrad Н на всех кольцах (одновременно) незамкнуты.
3.4. Пример неустойчивой интегрируемой системы
Здесь мы приведем пример неустойчивой интегрируемой гамильтоновой системы, у которой действительно есть кольцо особого слоя типа (в), см. рис. 3.16-с.
Рис. 3.17
Рассмотрим двумерную поверхность Р в Ж3 (х, у, z), изображенную на рис. 3.17. Функция высоты / = z на этой поверхности имеет единственное критическое значение z = 0 и две критические точки А и В, лежащие на этом уровне. Пусть Н(х, у, z) — гладкая функция, для которой Р является неособой поверхностью уровня, т.е. Р = {Н = 0} и dH\p ф 0.
Рассмотрим теперь в качестве симплектического многообразия прямое произведение Ж3 х S'1 с симплектической структурой и = dx A dy + dz A dtp. Легко видеть, что функции Н и / коммутируют, и поэтому гамильтонова система v = sgradН является интегрируемой.
