Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
1) Либо К состоит только из одной точки (т. е. изолированной вершины степени ноль), либо все вершины графа К имеют степень 4.
2) Каждая связная компонента множества Р2 \К гомеоморфна кольцу S1 х х(0, 1], и множество этих колец можно разбить на два класса — положительные кольца и отрицательные кольца — так, чтобы к каждому ребру графа К примыкало ровно одно положительное кольцо и ровно одно отрицательное.
Мы рассматриваем атомы с точностью до естественной эквивалентности: два 2-атома (Р2, К) и (Р/2, К') эквивалентны, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм, переводящий Р'2 в Р2, и К' в К.
Расширим теперь запас атомов, добавив новые объекты — атомы со звездочками.
Возьмем произвольный атом (Р2, К) и рассмотрим его граф К — {/ — с}. При этом наряду с прежними атомами рассмотрим еще один простой атом, получающийся следующим образом. В качестве поверхности Р мы возьмем кольцо и
Глава 3
167
объявим графом К любую его осевую окружность (рис. 3.18). Этот атом можно рассматривать как окрестность неособого (регулярного) уровня функции /.
Рис. 3.19
Изготовим теперь новые атомы со звездочками. Отметим на некоторых ребрах графа К произвольное число внутренних точек (т. е. не совпадающих с критическими точками функции). Объявим их новыми вершинами графа К и обозначим их звездочками. См. примеры на рис. 3.19.
Определение 3.5. Атом (Р2, К), у которого есть хотя бы одна вершина-звездочка, будем называть атомом со звездочками. Если таких вершин нет, то будем говорить об атоме без звездочек.
Определение 3.6. Будем называть 2-атомом ориентированный атом (Р2, К) со звездочками или без.
Рассмотрим теперь 3-атом U(L) со структурой расслоения Зейферта на нем. Обозначим через
7Г: U(L) -»¦ Р2
его проекцию на двумерную базу Р2 с графом К, где в качестве К возьмем образ 7t(L) особого слоя L при проекции 7г. Далее, отметим на базе Р2 звездочками те точки, в которые проектируются особые слои расслоения Зейферта (т.е. слои типа (2,1)). Напомним, что на базе Р2 каноническим образом вводится ориентация. Дело в том, что на U(L) ориентация уже фиксирована, а на слоях расслоения Зейферта она определяется гамильтоновым потоком v = sgrad Н. (см. следствие к предложению 3.8). Ясно, что в результате мы получили некоторый 2-атом (Р2, К).
Теорема 3.4.
а) База расслоения Зейферта на S-атоме U(L) имеет естественную структуру 2-атома, описанную выше.
б) Проекция 7г: (U(L), L) —> (Р2, К) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между 3-атомами и 2-атомами.
Доказательство.
В доказательстве нуждается лишь пункт (б). Сейчас мы построим обратное отображение, которое будет сопоставлять каждому 2-атому некоторый 3-атом. Возьмем 2-базу Р2 с графом К и построим функцию Морса / на Р2 такую, что ее единственный критический уровень совпадает с К. Такая функция определена однозначно с точностью до послойной эквивалентности. Она естественным образом расслаивает Р2 своими линиями уровня. Из теоремы 3.1 (см. выше) вытекает, что по базе Р2 с отмеченными на ней звездочками (если они
168
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
есть) однозначно (с точностью до послойной эквивалентности) восстанавливается 3-многообразие U(L) со структурой расслоения Зейферта. Чтобы получить теперь 3-атом, нужно задать на U(L) структуру слоения Лиувилля. Воспользуемся функцией /, уже имеющейся на базе Р2. Поднимем ее наверх, т. е. на U(L) при помощи проекции ж. Получим функцию / на U(L), регулярные поверхности уровня которой являются 2-торами. Ясно, что функция / является функцией Ботта на U(L). Ее критические окружности — это в точности прообразы всех вершин графа К, включая вершины-звездочки. Этот процесс построения 3-атома по 2-атому однозначен (с точностью до послойной эквивалентности). Ясно, что замена функции / на базе Р2 на послойно эквивалентную ей функцию приводит к лиувиллеву слоению на U(L), тоже послойно эквивалентному только что
Построив слоение U(L) на 2-торы, мы должны теперь представить его как лиувиллево слоение некоторой интегрируемой боттовской гамильтоновой системы на подходящем 4-многооб-разии. Нужно ввести симплектическую структуру в 4-окрест-ности V(L) = U(L) х I, где I — некоторый интервал, для которой слоение на U(L) было бы лагранжевым. Это действительно можно сделать, как мы покажем ниже при доказательстве более общей теоремы реализации.
Итак, мы построили соответствие (Р2,К) —> (U(L),L) между 2-атомами и 3-атомами, которое, как несложно видеть, является обратным к соответствию, устанавливаемому проекцией 7г. Теорема 3.4 доказана. ¦
Подведем итоги, выделив три различных типа атомов.
1. 3-атом А. Этот 3-атом отвечает невырожденной критической окружности, на которой функция / имеет локальный минимум или локальный максимум. С точки зрения динамической системы v = sgrad Н речь идет об окрестности устойчивой периодической траектории. Топологически 3-атом А представляет собой полноторие, расслоенное на концентрические торы, сжимающиеся на ось полно-тория. Другими словами, 3-атом А является прямым произведением окружности и диска, расслоенного на концентрические окружности (см. рис. 3.20).
