Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
2. Седловые 3-атомы без звездочек. Рассмотрим произвольный 2-атом (без звездочек), т.е. двумерную ориен-
Рис. 3.21 тированную компактную поверхность Р с краем, на кото-
рой задана функция Морса /: Р —> М, имеющая единственное критическое значение. Соответствующий 3-атом является прямым произведением U = Р х S1. Слоение Лиувилля на нем задает функция /, продолженная на Q естественным образом
построенному.
J-атом Л Рис. 3.20
f(x, ч>) = /(ж), х е Р, <ре S1.
Глава 3
169
На рис. 3.21 показан пример простого 3-атома В. Топологически этот атом представляет собой полноторие, из которого вырезаны два тонких полнотория. Особый слой L является произведением восьмерки на окружность. При прохождении через особый уровень интеграла два тора Лиувилля перестраиваются в один тор (или наоборот).
3. Седловые 3-атомы со звездочками. Как и в предыдущем случае, мы рассмотрим сначала 2-поверхность Р с функцией Морса / на ней. Предположим, что на поверхности задана инволюция, т.е. гладкое отображение т: Р —> Р, обладающее следующими свойствами:
1) г2 = id,
2) т сохраняет функцию /, т.е. /(т(ж)) = /(ж) для любого х € Р,
3) т сохраняет ориентацию,
4) неподвижными точками инволюции т являются некоторые из критических точек функции /.
Для построения 3-атома рассмотрим цилиндр Р х [0, 2п] и склеим его основания по инволюции т, отождествляя точки (ж, 27г) и (т(ж), 0). В результате мы получим ориентируемое 3-многообразие U с краем. Функция / естественным образом продолжается на ?/, поскольку /(г(ж)) = /(ж), и ее поверхности уровня задают структуру слоения Лиувилля на U с единственным особым слоем. Отметим, что топологически многообразие U является расслоением над окружностью со слоем Р.
На рис. 3.22 приведен пример простого 3-атома А*. Он устроен несколько сложнее атома В. Нужно удалить из полнотория лишь одно тонкое полноторие, но обходящее два раза вдоль оси (рис. 3.22). Особый слой L получается протаскиванием вдоль окружности вращающейся восьмерки, успевающей повернуться на угол 7г за один оборот. При прохождении через особый уровень один тор Лиувилля перестраивается в один тор. Отметим, что особый слой L можно реализовать в Ж3 как погружение двумерной бутылки Клейна (рис. 3.24).
В случае 3-атома со звездочками соответствующий
2-атом (Р, К) (где К = {/ = с}) получается из пары (Р,К) факторизацией по инволюции т. Здесь К = {/ = с}.
Определение 3.7. Пару (Р, К) назовем дублем 2-атома (Р, К) со звездочками.
Ясно, что дубль (Р, К) является разветвленным двулистным накрытием над 2-атомом (Р, К), причем точками ветвления являются как раз вершины-звездочки атома (Р, К).
Замечание. Следует иметь в виду, что у одного и того же 2-атома может быть несколько разных дублей, не гомеоморфных друг другу. Поэтому разные дубли (Pi, К\) и (Рг, -Кг) могут порождать один и тот же 3-атом со звездочками. Приведем один из простейших примеров. Рассмотрим 2-атомы С\ и Сг, изображенные на рис. 3.23 (см. также таблицу атомов). На каждом из них определена естественная инволюция,
1 ' "7/
3-О.Г77/7М Я
Рис. 3.22
170
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
являющаяся симметрией относительно оси, проходящей через вершины атомов. Применяя к каждому из этих атомов с инволюцией описанную выше конструкцию, мы получаем изоморфные между собой 3-атомы, имеющие тип А** (см. таблицу атомов ниже).
3.6. Классификация 3-атомов
В силу теоремы 3.4 классификация 3-атомов сводится к классификации
2-атомов. Классификация 2-атомов без звездочек уже была дана выше (см. таблицу 2.1 главы 2). Чтобы получить теперь список 2-атомов со звездочками,
нужно поступить так. Следует поместить на ребра графов К прежних 2-атомов произвольное количество вершин-звездочек. И добавить одну серию новых
2-атомов (Р2, К), где Р — кольцо, а К — его осевая окружность, на которой проставлено произвольное число звездочек (рис. 3.19). Начало получающегося списка приведено в таблице 3.1. Напомним, что здесь 2-атомы представлены в виде погружений соответствующих графов К в 2-сферу. При этом зеркально симметричные погружения не считаются эк-Рис. 3.24 Бивалентными. Отметим, что первые примеры незер-
кальных атомов со звездочками появляются в сложности 3. Это — два атома и Щзч переходящие друг в друга при зеркальном отражении.
Замечание. В реальных интегрируемых системах классической механики и математической физики наиболее часто встречаются 3-атомы А, В, А*, Сг, Di. Примеры будут приведены ниже.
Как уже было показано выше, по каждому ориентированному 2-атому без звездочек однозначно строится пара /-графов. Эту конструкцию можно естественно обобщить и на случай 2-атомов со звездочками.
Глава 3
171
Определение 3.8. Назовем f-графом со звездочками граф, определяемый точно таким же образом, как и обычный /-граф (см. определение 2.14), с одним изменением: теперь мы допускаем вершины степени два, причем в каждой такой вершине одно ребро должно быть входящим, а другое — выходящим. Такие вершины естественно назвать звездочками (или вершинами-звездочками).