Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
По каждому 3-атому мы однозначно строим 2-атом, а затем пару /-графов (со звездочками или без звездочек).
Полный список всех /-графов малой сложности (а именно, сложности 1,2,3) приведен в таблице 3.2. Дадим пояснения к этой таблице.
Таблица /-графов и групп симметрий /-графов. Напомним, что мы берем 3-атом, то есть ориентированное 3-многообразие, являющееся окрестностью особого слоя, причем ориентация на 3-многообразии задана и фиксирована. Также задана и фиксирована ориентация потока на критических окружностях. Затем по этому ориентированному 3-атому мы строим ориентированный 2-атом, то есть ориентированную 2-поверхность с графом К. Напомним, что граница
2-атома состоит из положительных и отрицательных окружностей. Далее, по этому ориентированному 2-атому мы однозначно строим пару /-графов. Эти два /-графа получаются так. У /-графа есть циклы, составленные из ориентированных ребер. Эти циклы могут соответствовать либо набору положительных окружностей 2-атома, либо набору его отрицательных окружностей. Поэтому и получаются ровно два /-графа (которые, впрочем, иногда могут получиться одинаковыми).
В таблице 3.2 перечислены /-графы малой сложности для трехмерных атомов (без звездочек и со звездочками).
Для каждого атома мы указываем два соответствующих ему /-графа. Эти /-графы получаются друг из друга при замене знака у интеграла / на противоположный. Напомним, что при построении /-графа мы фиксировали положительные и отрицательные кольца атома. Отметим, что в некоторых случаях /-граф и (—/)-граф совпадают. Тогда мы указываем в таблице только один /-граф. В тех же случаях, когда замена функции / на —/ изменяет /-граф, мы приводим оба эти /-графа. Полезно также отметить, что несмотря на возможное различие между /-графом и (—/)-графом, их группы симметрий всегда совпадают (изоморфны). Дело в том, что симметрии /-графа на самом деле отвечают симметриям 3-атома. А поскольку при замене / на —/ 3-атом, очевидно, не меняется, то и соответствующие группы симметрий /-графа и (—/)-графа одинаковы.
В первой колонке таблицы 3.2 указаны стандартные обозначения 3-атомов, постоянно используемые в нашей книге (см. таблицу 3.1).
Во второй колонке указаны соответствующие /-графы. Отметим, что здесь мы приводим лишь одно из возможных изображений /-графа. Подчеркнем, что все такие изображения здесь для нас одинаковы, поскольку /-граф рассматривается (по определению) как абстрактно заданный граф, и неважно, как именно мы изображаем его при помощи погружения в плоскость. Напомним, что в таблице 3.1, напротив, атом изображался в виде погружения его скелета (графа) в плоскость. Причем разным (неэквивалентным) погружениям одного и того же
172
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
графа-скелета отвечали разные атомы. Например, Di и D2 изоморфны как абстрактные графы, но задают разные 3-атомы.
В третьей колонке таблицы 3.2 мы указываем, для случая /-графов без звездочек, род ориентированного 2-атома, соответствующего данному /-графу, т. е. род ориентированной замкнутой двумерной поверхности, получающейся из
2-атома заклейкой 2-дисками всех его граничных окружностей.
В четвертой колонке указана группа Sym(F) симметрий (автоморфизмов) /-графа v, сохраняющих ориентацию ориентированных ребер /-графа. Назовем такие симметрии (автоморфизмы) собственными, а соответствующую группу — группой собственных симметрий. Общая теория симметрий атомов (без звездочек) изложена нами в главе 2 .
В пятой колонке указана группа Sym(F) симметрий (автоморфизмов) /-графа v, являющаяся расширением предыдущей группы при помощи несобственных симметрий. Несобственной симметрией /-графа мы называем такой его автоморфизм, который одновременно меняет ориентации всех его ориентированных ребер. На неориентированных ребрах никаких условий не накладывается. Для незеркальных атомов группа Sym(F) собственных симметрий, очевидно, совпадает с группой Sym(F), а для зеркальных — является нормальной подгруппой индекса два в группе Sym(F). В дальнейшем мы будем называть (для краткости) группу Sym(F) группой всех симметрий /-графа v, или полной группой симметрий /-атома. Отметим, что группа Sym(F) отвечает группе автоморфизмов соответствующего 3-атома, сохраняющих ориентацию гамильтонова потока на критических окружностях 3-атома. Соответственно, группа Sym(F) отвечает автоморфизмам 3-атома, которые могут обращать ориентацию потока, но при этом — одновременно на всех критических окружностях данного 3-атома. Далее следует помнить, что если рассмотреть /-граф просто как абстрактный неориентированный граф, забыв об ориентации всех его ребер, то его полная группа симметрий может оказаться больше, чем группа Sym(F).
В таблице через D3 обозначена группа всех симметрий правильного треугольника на плоскости, через D4 обозначена группа всех симметрий квадрата на плоскости. В общем случае Dn — это полная группа симметрий правильного n-угольника. Ее порядок равен 2п.
3.7. Атомы как перестройки торов Лиувилля
