Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 66

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 193 >> Следующая


Из теоремы 3.2 легко вытекает следующее утверждение, дающее описание слоения Лиувилля в трехмерной инвариантной окрестности U(L) С Q3 особого слоя L.

Теорема 3.3.

а) Трехмерное многообразие U{L) является многообразием Зейферта, особые слои которого (если они существуют) имеют один и тот же тип (2, 1).

б) Эти особые слои являются в точности критическими окружностями интеграла f с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами.

в) Если особых слоев у этого расслоения Зейферта нет, то многообразие U(L) является прямым произведением P(L) х S'1, где P(L) — двумерная ориентируемая поверхность с краем.

г) В общем случае структура расслоения Зейферта на U{L) и структура слоения Лиувилля на U(L) согласованы в том смысле, что каждый слой расслоения Зейферта (окружность) лежит на каком-то слое слоения Лиувилля. В частности, интеграл f постоянен на слоях расслоения Зейферта.

Доказательство.

Это утверждение фактически является топологической переформулировкой теоремы 3.2 и ее следствия. В качестве ориентированных слоев расслоения Зейферта на U(L) мы просто берем ориентированные орбиты 5'1-действия, порожденного периодическим интегралом /. В небольшом комментарии нуждается лишь пункт (в). В силу ориентируемости слоев расслоения Зейферта и самой окрестности U(L), база Р = P(L) является ориентируемой двумерной поверхностью с краем. Если особых слоев в расслоении Зейферта нет, то слоение локально тривиально. Более того, поскольку база P{L) имеет край, то никаких дополнительных инвариантов слоения (типа числа Эйлера) не существует и, следовательно, слоение Зейферта на U(L) имеет тип прямого произведения. ¦

В случае особого слоя L, содержащего критические окружности с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами, можно дать еще одно наглядное описание топологии окрестности U(L). Можно проверить, что в этом случае всегда существует «сечение» слоения Зейферта Р С U(L), обладающее следующими свойствами:

1) Р трансверсально слоям расслоения Зейферта;
Глава 3

159

2) каждый неособый слой пересекает поверхность Р дважды, а особые слои (критические окружности с неориентируемой сепаратрисной диаграммой) только один раз.

Поясним, как такая поверхность может быть построена. Поскольку слой L является деформационным ретрактом своей окрестности U(L), то достаточно построить трансвер-сальное сечение лишь на особом слое (а затем гладко продолжить его на некоторую окрестность). Построим сначала это сечение в малых окрестностях критических окружностей: в случае неориентируемой сепаратрисной диаграммы возьмем произвольную трансверсаль к критической окружности, а в ориентируемом случае две непересекающиеся транс- Рис. 3.12

версали (получающиеся друг из друга сдвигом на тг). Легко

видеть, что особый слой L является объединением двумерных орбит, каждая из которых диффеоморфна кольцу S1 х D1, и критических окружностей. На каждой критической окружности (и даже в некоторой ее окрестности) сечение Р уже имеется, и мы должны продолжить его на каждое из колец (рис. 3.12). Это, очевидно, можно сделать, соединяя между собой начальные пары точек, находящиеся на противоположных граничных окружностях кольца.

В результате мы получим сечение расслоения Зейферта на особом слое L, обладающее требуемыми свойствами. Продолжая его на трехмерную окрестность U(L), получаем искомую поверхность Р. Легко видеть, что поверхность Р связна, если особый слой L связен.

На Р естественно определена инволюция т.

В самом деле, каждой точке х из Р можно сопоставить точку т(х) G Р, являющуюся второй точкой пересечения слоя расслоения Зейферта, проходящего через точку х, с сечением Р (рис. 3.13). Такая точка встречи всегда существует и отлична от х, если х не принадлежит особому слою расслоения Зейферта. Если же точка х лежит на особом слое расслоения Зейферта, то мы полагаем т(х) = х.

Лемма 3.3.

а) Отображение т является инволюцией на Р. Ее неподвижные — это в точности точки пересечения Р с особыми слоями расслоения Зейферта.

б) База Р расслоения Зейферта на U(L) является фактор-пространством поверхности Р по действию инволюции т.

Доказательство вытекает из определения инволюции т.
160

Грубая эквивалентность интегрируемых систем

Заметим, что на поверхности Р естественно определена функция Морса, являющаяся ограничением интеграла /. Ясно, что инволюция т сохраняет функцию /.

Эта конструкция позволяет представить U(L) в следующем виде. Рассмотрим 3-цилиндр Рх х [0, 7г]. Склеим два его основания Р х {0} и Р х { 7Г } по действию инволюции т, т.е. отождествив точку (х, 0) с точкой (т(ж), 7г) (рис. 3.14). В результате получится искомое 3-многообразие U(L) — косое произведение поверхности Р на окружность.

Опишем теперь, как устроено слоение U(L) на торы Лиувилля. На поверхности Р имеется слоение на линии уровня функции /. Следовательно, прямое произведение Р х [0, 7г] расслоено на 2-цилиндры, представляющие собой прямые произведения линий уровня функции / на отрезок. Склеивая теперь основания 3-цилиндра Р х [0, 7г] по инволюции т, мы видим, что эти 2-цилиндры склеиваются в двумерные торы Лиувилля, расслаивающие U(L).
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed