Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим особый слой L слоения Лиувилля, задаваемый двумя уравнениями Н = 0 и / = 0. Слой L содержит две критические окружности И} S1 и {В} х S1. Сравним ориентации этих окружностей, задаваемые потоком v = sgrad Н. Заметим для этого, что траектории потока sgrad / замкнуты и задают в окрестности U(L) структуру ориентированного расслоения Зейферта (другими словами, / является периодическим интегралом системы). Поэтому
Глава 3
165
для сравнения ориентаций на окружностях нам следует сравнить между собой направления потоков sgrad/ и sgradН. Предположим для определенности, что градиент функции Н в точке А ? Р С М.3 направлен вертикально вверх, т.е. в ту же сторону, что и градиент функции / = z. Тогда, как нетрудно увидеть из рис. 3.17, в точке В градиент функции Н будет направлен вертикально вниз так, что направления gradН(В) и grad/(В) будут противоположны. Таким образом, на окружности {^4} х S1 потоки sgradН и sgrad/ направлены в одну сторону, а на {В} х S1 — в разные. Следовательно, ориентации, задаваемые на критических окружностях {^4} х S'1 и {В} х S1 гамильтоновым потоком v = sgrad Н, различны.
Особый слой L помимо двух критических окружностей содержит четыре двумерные орбиты, каждая из которых гомеоморфна кольцу. Посмотрим, как ведут себя траектории поля v на этих кольцах. Среди этих четырех колец имеются два, примыкающие одновременно к критическим окружностям {^4} х S1 и {В} х S'1. Поскольку поток v бежит по этим окружностям в разные стороны, то поведение траекторий на этих кольцах будет таким, как показано на рис. 3.16-с. На двух оставшихся кольцах поведение траекторий будет соответствовать рис. 3.16-Ь. Действительно, на граничных окружностях каждого из этих колец поток задает одинаковое направление просто потому, что эти окружности совпадают между собой.
Наконец, отметим, что построенная гамильтонова система не является топологически устойчивой на изоэнергетической поверхности {Н = 0}. Действительно, особые точки функции высоты / = z на поверхности {Н = ?}сМ3 при ? ф 0 оказываются на разных уровнях. С точки зрения гамильтоновой системы это означает, что при малом изменении уровня энергии критические окружности оказываются на разных особых слоях лиувиллева слоения. В результате особый слой L распадается на два более простых, меняя структуру слоения.
3.5. 2-атомы и 3-атомы
Рассмотрим топологически устойчивую интегрируемую систему с боттов-ским интегралом / на изоэнергетической 3-поверхности Q и возьмем какой-нибудь особый слой L соответствующего слоения Лиувилля на Q.
Рассмотрим инвариантную окрестность U(L) этого слоя. Как и в двумерном случае (см. главу 2), в качестве U(L) естественно взять связную компоненту множества /-1(с — е, с + е), содержащую особый слой L (здесь с = f(L) — критическое значение функции /). Ясно, что U(L) представляет собой трехмерное многообразие с естественной структурой слоения Лиувилля. Этот объект естественно назвать 3-атомом. Однако, с формальной точки зрения, следует поступить более аккуратно. Будем считать два таких 3-многообразия со структурой слоения Лиувилля лиувиллево эквивалентными, если
1) существует диффеоморфизм между ними, сохраняющий структуру слоения Лиувилля (т.е. послойный),
166
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
2) этот диффеоморфизм сохраняет ориентацию 3-многообразий и ориентацию на критических окружностях, которая задается гамильтоновым потоком.
Определение 3.4. Класс лиувиллевой эквивалентности трехмерного многообразия U(L) назовем 3-атомом. Число критических окружностей в 3-атоме назовем его атомным весом (или сложностью).
Отметим, что 3-атом (т. е. любое представляющее его многообразие U(L)) всегда ориентируем, и эта ориентация считается фиксированной. При изменении ориентации мы можем получить, вообще говоря, другой атом.
Возникает естественная задача классификации 3-атомов. Оказывается, она может быть решена в терминах 2-атомов. Напомним для этого их определение. Рассмотрим функцию Морса / на ориентированной поверхности Р2 с краем, и пусть с — критическое значение функции / на Р2.
Напомним (см. выше определение 2.4), что мы называем атомом окрестность критического слоя (задаваемую неравенством с — е ^ ^ с + е для достаточно
Рис. 3.18 малого е), расслоенную на линии уровня функции / и
рассматриваемую с точностью до послойной эквивалентности, сохраняющей ориентацию поверхности.
Подчеркнем, что начиная с этого момента на протяжении всей книги мы будем рассматривать только ориентированные атомы, т. е. такие, у которых поверхность Р2 ориентируема и ориентация на ней фиксирована.
Напомним далее, что понятие атома можно сформулировать и по-другому, взяв вместо функции / ее особый уровень К = {/ = с}.
Другими словами, 2-атомом называется пара (Р2, К), где Р2 — ориентированная связная компактная двумерная поверхность с краем, а К — связный граф в ней такой, что выполняются следующие условия.