Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Dn ООО S2 0 Z2
/\\
\1/ « Э S2 0 Z2
*
П
1* ОСЮ S2 0 Z2
12
/1\
\1/ о S2 0 Z2
*
^12
\/ aG S2 0 Z2
*
21
/\
\/ 0 > S2 0 Z2
*
21
/\
\/ оО S2 0 0
*
22
/\
\/ 0-0 S2 0 0
23
/\
*** о S2 Z3 D3
^4
Конец списка /-графов сложности 1, 2, 3.
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
181
Таблица 3.3.
Число молекул сложности (га, п) при га ^ 4.
6 0 0 0 0
6 0 0 0 54
5 0 0 0 247
4 0 0 11 530
3 0 5 24 561
2 0 10 24 128
1 1 3 2 8
п/т 12 3 4
Таблица 3.4.
Молекулы сложности (га, п) при га 2.
0> С, о
л оз ° °
н '^о iQo ~ п*
» А \_У
е- - G" 0
га = 1
га = 2
Глава 4
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем с двумя степенями свободы
Наступил момент уточнить определение лиувиллевой эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем. В этой главе мы будем считать, что две интегрируемые системы (v, Q3) и (V, Q'3) лиувиллево эквивалентны (т.е. имеют одинаковые слоения Лиувилля), если существует послойный диффеоморфизм Q3 —у Q'3, который, кроме того, сохраняет ориентацию 3-многообразий Q и Q' и ориентации всех критических окружностей. Напомним, что мы рассматриваем гамильтоновы системы, обладающие боттовскими интегралами. Критические окружности этих интегралов являются замкнутыми траекториями системы и имеют поэтому естественную ориентацию.
4.1. Допустимые системы координат на границе 3-атома
Молекула W содержит много существенной информации о структуре слоения Лиувилля на Q3. Однако, эта информация не достаточно полна. Действительно, молекула вида А---А, например, сообщает нам, что многообразие Q3
склеено из двух полноторий, расслоенных естественным образом на концентрические торы. Однако, каким образом проведена эта склейка, какое в результате получается трехмерное многообразие, и какое слоение Лиувилля на нем — не сообщается. Поэтому мы должны добавить к молекуле W некоторую дополнительную информацию о правилах склейки изоэнергетической поверхности Q3 из отдельных 3-атомов.
Чтобы это сделать, разрежем каждое ребро молекулы посередине. Молекула снова распадется на отдельные атомы. С точки зрения многообразия Q3 это операция означает, что мы разрезали его по некоторым торам Лиувилля на отдельные 3-атомы. Представим себе, что мы хотим произвести обратную склейку. Молекула W говорит нам, какие пары граничных торов мы должны склеивать между собой. Чтобы понять, как именно их нужно склеивать, мы должны задать для каждого разрезанного ребра матрицу склейки С, определяющую изоморфизм фундаментальных групп склеивающихся торов. Чтобы задать эту матрицу, мы должны фиксировать на торах системы координат. Как обычно, под системой координат на торе мы будем понимать пару независимых ориентированных циклов (A, fi), являющихся образующими фундаментальной группы 7Ti(X2) = Z ® Z (или, что в данном случае то же самое, группы одномерных гомологий). Геометрически это попросту означает, что циклы А и ц нетривиальны и трансверсально пересекаются ровно в одной точке.
Рассмотрим теперь отдельный атом и введем на его граничных торах специальную систему координат, называемую допустимой.
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
183
Случай 1. Пусть 3-атом имеет тип А, т.е. является полноторием. Тогда в качестве первого базисного цикла А мы возьмем меридиан полнотория, т.е. цикл, стягивающийся в точку внутри полнотория. В качестве второго цикла ц мы возьмем произвольный цикл, дополняющий А до базиса. Отметим, что ц можно считать слоем расслоения Зейферта (рис. 4.1). Поясним, что на полнотории структура расслоения Зейферта определена неоднозначно.
Напомним, что слои расслоения Зейферта имеют естественную ориентацию, задаваемую гамильтоновым векторным полем. Говоря точнее, только один из этих слоев является траекторией рассматриваемого гамильтонова векторного поля, а именно — критическая окружность дополнительного интеграла /, ось полнотория. Но ориентация этого слоя позволяет однозначно определить ориентацию на цикле ц.
