Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
2) Ребро соединяет атомы разных типов, т. е. атом А с седлом. Здесь в случае конечного ребра метка г меняет знак, а метка е не меняется. В случае бесконечного ребра наоборот: метка г не меняется (равна бесконечности), а метка е меняет знак.
Отсюда, кстати, следует, что разбиение молекулы в объединение семей не меняется.
в) С меткой п происходят следующие события. Предположим для начала, что семья не имеет атомов со звездочками. Тогда при изменении ориентации Q ex ’ S * *у ‘
величины тг? тг и участвующие в определении n-метки, меняют свои Pi Pi щ
знаки. Это следует из правила преобразования матрицы склейки на ребрах. Учитывая следующую простую формулу:
атомом и атомом А матрица С перейдет в С'
если х — целое, если х — не целое,
получаем следующую формулу для преобразования метки п при замене ориентации Q3:
п' = —п — /,
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
197
где целое число I равно числу тех ребер молекулы W, которые являются внешними ребрами данной семьи и несут на себе дробную (т.е. нецелую) метку г.
Напомним теперь, что седловые атомы могут иметь звездочки. Если на граничных торах были заданы допустимые координаты {(А*, fa)}, то они преобразуются следующим образом. Выберем некоторый граничный тор, например, с номером *о- Тогда формулы преобразования будут таковы:
А^ = \i,Hi = -fa при i ф *о5 а ПРИ * = *о имеем: ц[о = - s\io,
где s — число звездочек у данного атома, т.е. число критических окружностей с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами. Это легко следует из определения допустимых координат на атомах со звездочками (см. выше). Если звездочек нет, то s = 0. В результате матрицы склейки С также преобразуются, что вызывает изменение меток. Как следствие, метка п преобразуется так:
где сумма величин s берется по всем атомам, входящим в состав данной семьи. Целое число I уже было определено выше.
4.5.3. Изменение ориентации гамильтонова векторного
При таком изменении происходит следующее: поток v = sgrad Н заменяется на —V = sgrad(—Н). Поскольку ориентация Q предполагается неизменной, отсюда следует, что все атомы молекулы W должны замениться на зеркально симметричные, а все числовые метки молекулы остаются прежними. Дело в том, что допустимая система координат (A, fi) заменяется на систему координат (—А, — ц). В результате все матрицы склеек С не изменились.
4.6. Теорема реализации
Здесь мы обсудим вопрос о том, какие абстрактно заданные молекулы W* реализуются в виде молекул интегрируемых систем. Дело в том, что меченую молекулу W* можно задать абстрактно как некий граф, вершинами которого являются атомы, а на ребрах и семьях проставлены произвольные метки г (рациональные числа от 0 до 1, либо оо), метки е = ±1 и метки п (произвольные целые числа). Спрашивается, найдется ли конкретная интегрируемая система v = sgradН на подходящей изоэнергетической поверхности Q в подходящем симплектическом 4-многообразии М такая, что ее меченая молекула совпадет с VF*? Ответ положительный.
Теорема 4.2 (Теорема реализации [30]). Любая абстрактно заданная меченая молекула W* реализуется как меченая молекула некоторой интегрируемой гамильтоновой системы.
ПОЛЯ
198
Глава ^
Доказательство.
Шаг 1. Рассмотрим молекулу W* и восстановим по ней соответствующее 3-многообразие Q3. Для этого возьмем все 3-атомы, отвечающие данной молекуле. По набору меток молекулы W* можно однозначно восстановить избыточное оснащение молекулы, т. е. набор матриц склеек, с точностью до естественного отношения эквивалентности, введенного выше. Пользуясь теперь этими матрицами склеек, склеиваем трехмерное многообразие Q3 из 3-атомов. На многообразии Q3 возникает естественная структура слоения типа слоения Лиувилля. Каждый 3-атом имел такую структуру по определению, причем каждый его граничный тор являлся слоем. Поэтому, склеивая атомы между собой, мы естественным образом продолжаем слоение с одного атома на другой. Рассмотрим теперь 4-многообразие М4 = Q 3 х 7, где 7 — интервал, и естественным образом продолжим на М4 слоение с Q3. Фиксируем на Q3 х/ некоторую ориентацию. Для завершения доказательства теоремы осталось ввести на М4 симплектическую структуру так, чтобы получившееся слоение стало лагранжевым.
Шаг 2. Сначала зададим симплектическую структуру на каждом 4-атоме С/х 7, где U — любой из 3-атомов, входящих в состав молекулы W*. Будем считать, что все эти 3-атомы уже лежат в Q3 как подмножества Q3. Как мы знаем, с топологической точки зрения многообразие U можем быть одного из двух типов: либо прямое произведение Р2 х S1, либо косое произведение P2xS1. В первом случае структура слоения Лиувилля на Р2 х S1 фактически задается функцией Морса на поверхности Р2. А именно, если х и у — координаты на Р2, а ^ — координата на слое-окружности, то функция f(x, у, <р) на самом деле от <р не зависит. Пусть t — координата на интервале 7. Тогда симплектическую структуру на 4-атоме U х I можно задать следующей явной формулой:
