Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
х-Е,
- а = р, t >0,
2я-\д
преобразуем интеграл (11) к виду
т+1 х
I = (2a)m+ft 2 (- l)m jame~a ф(х + 2а aVF)c/a.
-ОС
Отсюда легко видеть, что этот интеграл равномерно сходится при t>t0 >0,
так как подынтегральная функция мажорируется функцией
М\а\те~а\
которая интегрируема в промежутке (- сс.со).
Таким образом, функция u{x,t), определяемая формулой (10), непрерывна и
имеет производные любого порядка по х и t при t > 0. Так как
подынтегральная функция удовлетворяет уравнению (1) при t> 0, то отсюда
следует, что и функция и (х, t) удовлетворяет этому уравнению при t > 0.
Докажем теперь, что функция (10) удовлетворяет начальному условию (2),
т.е. что
lim и (х, /) = ю (х) о v ' v '
120 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
при любом х из (- оо, оо). Запишем интеграл (10) так
Далее так как
1 °° ' / \
i(x,t) = -j= fe~a ф(х + 2aa4tjda. (12)
"V 71 -да
| оо 2
ф(х) = -р= je~a ф(х)Да,
v -оо
то, вычитая это равенство из (12), получим
и (х, /) - ф(х) - -7= /[ф(х + 2aaVl)- ф(х)]г_а Да,
v 71 _оо
откуда
|и(хд)- ф(х)| < -J |ф(х + 2aaVl)-ф(х)| е_а Да. (13)
л/л_ш'
Пусть е > 0 - сколь угодно малое число. Выберем число А столь большим,
что
2М ~А' , е 2М Д 2 , е
-== Je da<-, -j==je da< -, (14)
л/я _oo 3 л/л ,Y 3
Разбивая промежуток интегрирования на три:
(-оо, А), (-А,А), (А, оо)
и принимая во внимание неравенство
|ф(х + 2aa4t)~ ф(х)| < 2 М и оценки (14), будем иметь
2 l^i/ \ 7
|г/(хд) - ф(х)| < - е + -J ф(х + 2aadtj- ф(х! е~а Да.
3 л/л_л/ 1
В силу непрерывности ф(х) при всех t, достаточно близких к нулю, и при
|а| < А имеем
|ф (х + 2 a a4t) - ф (х)| < ,
и последнее неравенство дает
III. Уравнение теплопроводности 121
и тем более
I ( \ ( \ ^ ^ ? 1 _а2 }
\и (х, t)- Ф^Л < - 8 н = Je da,
3 3Vn_oo
т.е., в силу равенства
1
л/я -00
мы имеем |и (х, t) - ф М|<Е при всех /, достаточно близких к нулю, и при
всех х, откуда ввиду произвольности е > 0 и следует
lim и (х, /) = ф (х). r->o v ' ' '
Пусть u(x,t) - решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию
(2), а м (x,t) - решение этого же уравнения, удовлетворяющее начальному
условию
ы (х,0)= ф(х).
Тогда нетрудно показать, что если |ф (х) - ф (х)| < е, то |и (х, t) - й
(х, ?)( < е при
любых х и t > 0. Последнее означает, что решение задачи Коши непрерывным
образом зависит от начальной функции.
Решение неоднородного уравнения
ди 2 \ ( 1\\ /лг\
- = а ------ + f[x,t) (- со < х < оо, t > 0) (15)
dt дх2 с нулевыми начальными условиями
и(х, О) = 0, (16)
очевидно, должно представляться формулой
t СО
и (х,?) = J JG (х,t - т)/(?,,т)dt, dx,
О -СО
как то следует из физического смысла функции G (х, t).
Ясно, что решение задачи Коши (15), (2) есть сумма решения задачи (1),
(2) и задачи (15), (16).
\е " da = 1,
122 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§ 2. Краевые задачи для полуограниченной прямой
В тех случаях, когда интересуются распределением температуры вблизи
одного из концов стержня, а влияние другого конца несущественно,
принимают, что этот конец находится в бесконечности. Это приводит к
задаче об определении решения уравнения теплопроводности
- = а2^-, х > О, f>0, (17)
dt дх2
удовлетворяющего начальному условию
и (х,0) = ф (х), х > 0 (18)
и граничному условию, которое, в зависимости от заданного характера
граничного режима, берется в одном из следующих видов:
и (О, /) = и (/) (первая краевая задача), д и (О,t)
- = V (?) (вторая краевая задача),
О X
д и (О, l) _ , ^ ^ ^ _ Q (ТрСТЬЯ Краевая задача).
Здесь мы ограничимся построением решения только первой краевой задачи в
случае р (t) = 0, т.е.
и (О, t) = О, t> 0. (19)
Положим
Гф(х) для х > 0,
Ф(х)=1 , ч
I-ф (-х) для х < 0, и функцию и (х, t) определим по формуле
u(aO = -i=f= \е 4"2' Ф(^М-
2-^jп a t -ж
III. Уравнение теплопроводности 123
Легко проверить, что и (0, t) = 0. Таким образом, согласно § 1 функция и
(x,t)= и (x,t) при х > 0 дает решение краевой задачи (17)-(19). Пользуясь
определением функции ф (х), будем иметь:
)(х,г) =
I'Jn'c
2\lna^t
je ^<^)d^+\e 4"2' ф(^
-00 О
2 -у/я
2-a t
J*
-\e 4<A tp{g)dl,+ \e 4<A ф{?)dt, 0 0
Соединяя оба интеграла вместе, получим искомую функцию
М)2
4а2^
4 a2t
2д/я
a2t о
>00^-
Задачи
1. Решить задачи:
а) ы^ - 4и^. + ? + ??, w|^_q - 2,
б) м, = ихх + 312, u\t=0 = sin х;
в) ^ = "хт +sin ^ и^о=е_х;
г) и, = их
1=0 = хе
2. Показать, что уравнение
ut - а2ихх -Ъих - си = f{x,t), где а, Ъ, с - постоянные, заменой
u{y,t)=e~ctu(y-bt, t) сводится к уравнению теплопроводности.
3. Найти решение задачи
Ut - "2"XX - Ъих ~си = ЛХ' Л и\ t=0 = М0 М
124 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики со
следующими данными:
а) / = 1, Щ = 1, с = 1;
б )f = e', и0= cosx, а = с = 1, 6 = 0;
в) / = е', m() = cosx, а = с = 2, 6 = 0;
г) / = ?sinx, м0 = 1, а = с = 1, 6 = 0.
Лекция 16. Уравнение распространения тепла в пространстве.
Фундаментальное решение. Решение задачи Коши
В лекции 1 было показано, что процесс распространения тепла в однородном
