Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, нахождение функции и(хд), дающей решение общей краевой
задачи, сведено к нахождению функции и(хд), дающей решение краевой задачи
с нулевыми граничными условиями. Последнею функцию о(хд) можно
представить как сумму решений задачи (4) - (6) и задачи (12) - (14).
Задачи
1. Дан тонкий однородный стержень 0 < х < /, боковая поверхность
которого теплоизолирована. Найти распределение температуры и(хд) в
стержне, если:
а) концы стержня теплоизолированы, а начальное распределение
температуры задается формулой
(=0 '
и0 = const, если 0 < х < -,
0,
если - < х < /. 2
Изучить поведение и(х, t) при t -> оо;
б) концы стержня теплоизолированы, а
2 Ип
1= 0"
-х,
если 0 < х <
где и0 = const. Найти Нт и (хд);
Г-"оо
в) концы стержня имеют постоянную температуру и| т=0 = их, и| Х=1 = их
, а начальная температура задается формулой и| t=Q = А х (/ - х), где Д =
const. Найти Пт и(х, /).
t-y-x
2. Решить следующие смешанные задачи:
а) ut =ихх, 0 <х<1, их11=0 = 1, и|х=/ = 0, и|,=0 = 0;
б)ut=uxx-2ux+x + 2t, 0 <х</, и| д-=0=и| х=/ =
и ,=0 = еЛ sin тг х;
116 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
в) ut = и хх + 6и + х2 (l - 61) - 2 (/ + 3 х) + sin2х, 0 < х < I,
Ux |,=0=1, ux\x=Q = 2nt + \, и\ г=0 = х.
Лекция 15. Задачи на бесконечной прямой (Задача Коши. Краевые задачи для
полуограниченной прямой)
§ 1. Задача Коши
Рассмотрим на бесконечной прямой задачу с начальными данными (задачу
Коши): найти функцию u(x,t) (t > 0-со < х < со), удовлетворяющую
уравнению теплопроводности
ди 2 д2и
я, а ТТ' 0)
dt д х
к начальному условию
и(х,0)= ф(х)(- аз < х < +сс), (2)
где ф (х) - непрерывная и ограниченная функция.
Используя принцип максимума (см. лекцию 13), можно доказать, что решение
задачи (1), (2) в классе ограниченных функций единственно.
Докажем существование решения этой задачи. Найдем сначала частные решения
уравнения (1) вида
и (x,t)= Т (?)Х (х). (3)
Подставляя (3) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим 1 /'(/)
Х'(х)_ 2 a2 T{t) Х(х)
где X2 - постоянная. Мы получаем, таким образом,
T'(t)+a2X2T(t) = 0, Х"(х) + Х2Х(х)= О,
III. Уравнение теплопроводности 117
откуда, полагая постоянный множитель в выражении J'(f) равным единице,
T(t) = e~a х *, а Х(х) выберем таким: Х(х)= A(X)ellx, имеем частное
решение уравнения (1) вида
и-к (хд) = А (Х)е
К1+iXx
(4)
Здесь X - любое вещественное число - оо < X < +оо. Интегрируя (4) по
параметру X, получим также решение уравнения (1)
X ? 2 •
и(хд) = \А {Х)е~а t+,XxdX. (5)
-оо
Требуя выполнения начального условия при t = 0, будем иметь
со
ф (х) = |Д (/") e'XxdX.
-со
Воспользуемся теперь формулой обратного преобразования интеграла Фурье:
А(х) = ^~
Подставляя эту функцию в (5) и меняя порядок интегрирования, получим:
! (хд) = J
V 2 л 1
= - ] 2п±
/ф(^)е
•СО
) e-ahi+iK^dk
e-a2x5,+iXxdX =
(6)
Внутренний интеграл в (6) равен
1 7 r-f) " 1
- г e-a2x,+iXk-^dx = -
J
-о2
2л
2д/ла Д
Подставляя (7) в (6), приходим к интегральному представлению искомого
решения
(7)
м(хд)= JG (х, ^д) ф (^) ,
(8)
118 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики где
G(x,^0 = -j-е4"2' ¦ (9)
2^ па t
Функцию (9) называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности.
Можно убедиться в том, что фундаментальное решение (9) дает распределение
температуры в бесконечном стержне, если в начальный момент времени ( = 0
в точке ?, мгновенно выделяется количество тепла Q = ср.
Теперь выясним условия применимости формулы (8).
Докажем, что формула
00 -i
u(x,t)= , je 4"2! ф(10)
2у 71 U t -ос
называемая интегралом Пуассона, для любой непрерывной и ограниченной
функции ф (х) представляет при t > 0 ограниченное решение уравнения
теплопроводности, непрерывно примыкающее при t = 0 к ф (х).
Покажем, во-первых , что если функция ограничена,
| ф(х)| <М, то интеграл (10) сходится и представляет ограниченную
функцию. В самом деле
(x-^f
I и (х, ?)|<-, je 4<rt d^ =
2^4-i
так как
со 2
je~a da = л/п .
-СО
Покажем далее, что интеграл (10) удовлетворяет уравнению теплопроводности
при t > 0. Для этого достаточно доказать, что производные этого интеграла
при t > 0 можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком
интеграла.
a =
М
= -j= je а da = М,
v Л _х
III. Уравнение теплопроводности 119
В случае конечных пределов интегрирования это законно, так как все
производные функции (9) при t > 0 непрерывны. Для возможности
дифференцирования под знаком интеграла при бесконечных пределах
достаточно убедиться в равномерной сходимости интеграла, полученного
после дифференцирования под знаком интеграла. После дифференцирования под
знаком интеграла выделяется множитель <; - х в положительной степени,
который остается под знаком интеграла, и множитель t в некоторой степени,
который можно вынести из под знака интеграла. Таким образом,
дифференцируя (10) несколько раз по х и t, мы получим сумму интегралов
вида
1 = -\{х-$"е <%. (11)
t -00
Производя замену переменных
