Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
Вывод соотношения (1) был основан на использовании второй формулы Грина
\\\(и А и - и A u)dn = 11] и - о ¦?JV ' Д дп дп
d s . (2)
Сейчас мы получим несколько важнейших свойств гармонических функций.
§1. Теорема о среднем арифметическом
Лемма 1. Если и - функций, гармоническая в области П, ограниченной
поверхностью S, то
ГГ-</* = (), (3)
s'
где S' -любая замкнутая поверхность, целиком лежащая в области П.
148 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Доказательство. Подставляя в (2) гармоническую функцию и, А и = 0 и
функцию и = 1, сразу же получим формулу (3).
Из формулы (3) следует, что вторая краевая задача:
Теорема 1 (Теорема о среднем арифметическом). Значение гармонической
функции в центре некоторого шара равно среднему арифметическому ее
значений на поверхности этого шара.
Доказательство: Применим формулу (1) к шару Ка с центром в точке М0 и
радиуса а:
Ли = 0, М(х,у, z)efi,
Й и
может иметь решение только при условии
Здесь Sa - сфера. Принимая во внимание, что
г а
= - на Su ,
и формулу (3), из (4) получаем соотношение
4 л a sa
(5)
Теорема доказана.
Записывая (5) в виде
4т1р2м(М0)= JJuds
IV. Теория потенциала 149
и интегрируя по р от 0 до а, получаем
и{М0) = ^-\\\udQ., Уа=^а3,
а 3
т.е. и{Мо ) есть среднее по объему шара Ка с границей Sa.
Теперь используя теорему 1, установим справедливость утверждения:
Лемма 2. Функция, гармоническая внутри ограниченной области Q и
непрерывная в замкнутой области И, достигает своего наибольшего и
наъшень-шего значения только на границе области, кроме того случая, когда
эта функция есть постоянная.
Доказательство. Пусть и(м) достигает наибольшего значения в некоторой
внутренней точке М0 (х0, у0, z0 ) области Q. Проведем сферу Sp с центром
в точке М0 и радиусом р, принадлежащую целиком области Q, применим
теорему о среднем арифметическом и заменим подынтегральную функцию
и(м) ее наибольшем значением ы(М') = тахи(м) на сфере. Таким образом,
MgSp
получим
u[Mq) = -JJmds < -ffu(M')ds = и(м').
4np sp 4лp Sp
причем знак равенства имеет место только в том случае, когда и на
сфере Sp
есть постоянная, равная и(М0). Поскольку по предположению и(М0) есть
наибольшее значение и(м) в области Q, мы можем утверждать, что имеет
место знак равенства и что, следовательно, и(м) равна постоянной внутри и
на поверхности всякой сферы с центром М0, целиком принадлежащей области
Q. Покажем, что отсюда следует, что и(м) есть постоянная и во всей
области Q. Действительно, соединим точку М0 с произвольной внутренней
точкой М при помощи какой-либо гладкой кривой L, лежащей
целиком
внутри Q. При этом минимальное расстояние от точек линии L до
точек
150 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики границы
области, будет положительным. Следовательно, существует такое
положительное число е, что шар радиуса е, описанной вокруг любой точки
линии L, будет лежать целиком внутри Q. На линии L можно указать конечное
число точек М0,М1,...,Мп =М, обладающих тем свойством, что каждая
последующая лежит внутри шара радиуса е, описанной вокруг предыдущей.
Пользуясь доказанным свойством постоянства и на любой внутренней сфере,
окружающей всякую точку, где и принимает максимальное значение, и
переходя последовательно от одной вершины ломанной к другой, получим:
и(м) = и(М0).
Аналогично доказывается, что гармоническая функция не может достигать
наименьшего значения внутри Q. Согласно теореме Вейерштрасса функция и(м)
в замкнутой ограниченной области достигает своего наибольшего и
наименьшего значения, и она достигает их на границе области Q, ибо, по
доказанному, внутри области Q гармоническая функция и(м) не может
достигать наибольшего и наименьшего значений. Теорема доказана.
Нетрудно показать, что гармоническая функция и{м) не может иметь внутри
области Q ни максимумов, ни минимумов.
§2. Изолированные особые точки
Рассмотрим особые точки гармонической функции. Пусть М0 - изолированная
особая точка, лежащая внутри области гармоничности функции и.
Представляется возможным два случая:
1) гармоническая функция ограничена в окрестности точки М0;
2) гармоническая функция не ограничена в окрестности точки М0.
С особыми точками второго рода мы уже встречались и = -, г = I ММ() I.
г
Следующая теорема показывает, что первый тип особых точек не может быть
осуществлен.
IV. Теория потенциала 151
Теорема 2. Если ограниченная функция и(м) является гармонической внутри
области <А, за исключением точки М0, то можно так определить значение
u{Mq), чтобы функция и(М) была гармонической всюду внутри Q.
Доказательство. Возьмем шар Ка радиуса а с центром в точке М0, целиком
лежащей внутри Q, и рассмотрим внутри него гармоническую функцию и,
совпадающую с функцией и на сфере Sа шара Ка.
Составим разность
w=u-U,
которая
1) гармонична всюду внутри Ка, кроме точки М0, в которой w не определена;
2) непрерывно примыкает к нулевым граничным условиям Sa;
3) ограничена в замкнутой области Ка U Sa (jw| < А).
