Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
СО СО СО
u(M,t)= J J \G(M,M',t)q{M')dv, M = M(x,y,z), М'= M%,r\,Q.
-СО -00 -СО
Рассмотрим точку М0 (х0 у0, z0 ) и докажем, что для любого е > 0
существует такое 5(e) > 0, что
\u(M,t) - ф(М0 )| < е при |ММ0| < 5(б) и t < 5(б). (10)
Далее пусть F\- область, содержащая точку М0; ее размеры будут определены
ниже; остальную часть пространства обозначим через V2- Принимая во
внимание равенства
u(M,t)= \\\G{M, М' + \\\G{M ,М' ,t)$(M')dv,
К[ v2
ф(м0)= \\\g{M ,М' ,t)o{M{])dv + JJJC7(А /, /V/',/)ф(,Т/0 )dv,
к, K2
III. Уравнение теплопроводности 129
а также положительность функции G{M,М',t), будем иметь:
\u{M,t)-<p(M0)<Jl+J2, (11)
где
J\ =\\\°{М'М'А ф(4Т')-ф(М0)|й?у, J2 =2A\\\G(M,M',t)dv.
V] r2
Теперь в качестве области Vx выберем шар в точке M(x,y,z) радиуса р .
Зададим е > 0. Тогда в силу непрерывности функции ф в
фиксирован-
ной точке М0, найдется 5' > 0, что
|ф(М')-ф(М0)| <j, если |МА/0| < 5'.
Таким образом, если диаметр шара V\ не превосходит 8', т.е. р<^-5',
то
р р X СО X р
J\ J J lGfi?v=T-
(12)
- X -X -X
Переходя к сферической системе координат с центром в точке М, получаем
р
JJjGdu =
к,
f *
' 1 I р. -
2^jna2t
2 "-а
/_ j а Л/Д 0 О
-j= fx2e " da = 1 -Jn о
(
Л
а =
, X 1 X
fx2e " da = - - ae a f+- (e " da = -^~.
J о J о J л
Таким образом,
dv = 1 - JJ/G dv -> О при t -> 0,
V? Vi
130 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
т.е. для всякого s > 0 можно указать такое 5", что
JJjG du с ,
V2 ЭЛ
и, следовательно,
2е
если только t < 8".
Выбирая из чисел ^-5' и 5'' наименьшее и обозначая его через 5, будем
иметь неравенство (10):
|и{М, i)- ф(М0 )| < е при |ММ01 < 5 и t < 5,
которое и доказывает непрерывность при t = 0 во
всякой точке М0.
Перейдем теперь к решению неоднородного уравнения f -.2 А
ди 2 - = а dt
д и д и д и ,/ \
н - н - + J\X,y,Z,t) - 00 < X < у, Z < 00, t > О
дх ду dz
при нулевом начальном условии и(х, у, z, о) = 0 .
Рассмотрим точку Д в момент времени г <t. Количество тепла, вы-
деляющегося в элементе dtflpdC, за время dr и равное
dQ = ср/ dtfitc\dC,dr, вызывает в точке м(х, у, z) в момент времени t
температуру G(M,M', t - r)f(M', r)dtfh\ddydr.
Пользуясь принципом суперпозиции, мы можем написать решение поставленной
задачи в виде
t СО СО 00
и(М,t)= J J J ^G{M,M',t - r)f{M'.r^d^drydl^dr.
О - ОЭ -ОС -00
Задачи для полупространства с однородными граничными условиями первого и
второго рода решаются методом отражения.
Задачи
III. Уравнение теплопроводности
131
1. Пусть функция f{x,t)ec2{t > О) является гармонической по х при каждом
t
фиксированном ^>0. Доказать, что функция u(x,t)- \f{x,r)dr является ре-
о
шением задачи Коши ut = а1 Аи + f{x,t), u\t=Q = 0. Здесь х е R" , п =
2,3.
2. Решить задачи (" = 2) :
а) ut = Аи + е' , и\l=0 = cos х sin у.
б) и, = Аи + sin t sin х sin у, и| t=Q = 1.
В) 2 ut = А и , м|г=0 = cosxy.
3. Решить задачи (и = 3):
а) и, =ЗЛи + е', м|;=0 = sin(x-y-z).
б) и, = Аи + cos(x-y + z), и\ t=0 = e~(x+y~z> .
в) ut = Am , м|г=0 = cos(xy) sinz.
Лекция 17. Распространение тепла в ограниченных телах. Схема метода
разделения переменных. Остывание однородного шара. Распространение тепла
в прямоугольной пластинке
При изучении распространения тепла в ограниченном теле необходимо к
уравнению и начальному условию добавить условия на границе тела, которые
в простейших случаях являются граничными условиями первого, второго или
третьего рода.
132 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Рассмотрим простейшую задачу с однородным граничным условием первого
рода:
наити решение уравнения теплопроводности
ди 2( д2и д2и д2и'\
- = а --------------+--------+-- внутри Г при?>0 (1)
dt ду dz2)
с начальным условием
и(х,у,г,0)=ф,у,г) (2)
и граничным условием
Ие = 0, (3)
где S - граница области Т.
Решение этой задачи может быть получено обычным методом разделения
переменных, изложенным применительно к уравнению
rs2 ( г^2 д2 г{2 ^
О U 2\ V и О U О U
¦ = а
rs j.2 2 ^ 2 2
dt l^ox оу dz в лекции 12; применение этого метода к нашей задаче
проходит совершенно аналогично.
§1. Схема метода разделения переменных
Рассмотрим вспомогательную задачу: найти нетривиальное решение уравнения
(1), удовлетворяющее однородному граничному условию (3) и представимое в
виде произведения
u{U,t)= и(м)7уЦ 0, M = M(x,y,z). (4)
Подставляя функцию (4) в уравнение (1), приходим к следующим условиям,
определяющим функции и(м) и T{t):
^- + ^- + ^- + Яи = 0, MgT, и(м)*0, (5)
дх ду dz
о = 0 на Е
III. Уравнение теплопроводности 133
и
Г + а2Х Т = 0. (6)
Для функции и получаем задачу на отыскание собственных значений, с
которой мы встречались при рассмотрении колебаний ограниченных объемов
(см. лекцию 12).
Пусть Д2,...Д",...- собственные значения, a U[,u2,...,u",...-собственные
функции задачи (5). Функции {ий} образуют ортогональную систему, т.е.
dxdу dz = Q при m Ф п.
т
Соответствующие функции Тп (/) имеют вид
Tn(t)=Cn
и вспомогательная задача имеет нетривиальное решение ""(M,f)=C"u"(M)e-aV
