Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
Общее решение исходной задачи может быть представлено в виде
00 2л
и{М,г)=^Спе-аК,ип{м). (7)
п=1
Удовлетворяя начальному условию
00
М(м,0)=ф(м)=хсйий(м),
п=\
находим коэффициенты
xd у d z
°п=--------------2---------• (8)
|р"||
где
ЛKlM)d xd yd z
- норма функции ой
Функция определяемая формулами (7), (8), дает решение
исходной
задачи (1) - (3).
134 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Уравнение
я / п2 ^2 л2 ^
ди 2 д и д и о и - = а
iz~
¦f{M,t) (9)
dt удх2 ду2 д; при однородных граничном и начальном условиях может быть
также решено методом разделения переменных.
Полагая, как обычно,
u(M,t)=f,T"(t)un(M) (10)
П=1
и разлагая функцию /(М, t) по собственным функциям ии (м)
00 1
d xd yd z,
n~\ О T
II П II
из (9) получаем для определения Тп (t) уравнение
К + а2т"т" = f"{t)
с начальным условием Тп (о) = 0, так как и{М,0) = 0. Следовательно, имеем
Гл(/)=КЛ"('"Т)/И(т)^т. (11)
о
Теперь формулу (10) с учетом (11) перепишем так
и{М,t) = J JJ]jf)е-а2х"{'-г) U4MK(M)jх)^л^т.
0 т l"=1 1Ы1 J
Здесь М' = М'(?,,г1, Д. Выражение в фигурных скобках, очевидно,
соответствует функции влияния мгновенного источника мощности Q = cр,
помещенного в точку М' в момент времени т,
т)= X
" о"(М)и'п(м) _a2K(t_T
II II2
Решение первой краевой задачи и для уравнения теплопроводности с
неоднородными граничными условиями й = у на поверхности Z легко приво-
III. Уравнение теплопроводности 135
дится к решению и неоднородного уравнения с однородными граничными
условиями и = О на Е, если положить
м = и + ф,
где ф - произвольная (достаточно гладкая) функция, принимающая значения
\|/ на Е.
Таким образом, основная трудность при решении задач о распространении
тепла в ограниченной области состоит в нахождении собственных функции и
собственных значений для данной области.
§2. Остывание однородного шара
Рассмотрим задачу об остывании однородного шара радиуса R, имеющего
некоторую начальную температуру зависящую только от расстояния г точки от
центра шара, если на его поверхности поддерживается температура равная
нулю.
В этом случае задача приводится к интегрированию уравнения
теплопроводности
ди 2
= а
dt
о и
2 ди
дг2 г дг
О <r<R, t> 0 (12)
при начальном условии
и(г,0)=ф(г), 0 <r<R (13)
и при граничном условии
u(R,t)= 0. (14)
Согласно методу разделения переменных (см. §1) задача на собственные
значения (5) имеет вид
d2и 2d и
н нХи = 0 0 <r<R,
d г2 г d г ' (15)
u(fl) = 0.
136 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Полагая w = г и (15), приводим к следующей задаче:
d2w d г2
+ Xw = 0, w(0) = 0, w(7?) = 0.
(16)
Собственные значения и собственные функции краевой задачи (16), как
известно, даются формулами:
'¦-'т
Таким образом,
T"it)=Cn
. пп
w" = sm - г . R
/ \ 1 . пп
u"(r) = -sm - г, г R
далее, удовлетворяя начальному условию (13), находим (см. (8))
Сп (r)rsm^-^dr
R
R
Следовательно, решение задачи (12) - (14) вычисляется по формуле
ОС
Ard)= Z
2^/4 . ппг
- J ф(г )r sm-d г
R
R
1 . ппг
- sm .
г R
§3. Распространение тепла в прямоугольной пластинке
Рассмотрим тонкую однородную прямоугольную пластинку, контур которой
поддерживается при температуре 0°. Начальное распределение температуры
задано, и задача заключается в определении температуры пластинки в любой
момент времени t > 0, в предположении, что тепловой обмен между боковой
поверхностью пластинки с окружающей средой отсутствует.
Эта задача приводится к решению уравнения
ди
/я 2 я2 )
2 ом д и
dt [дх2 ду2
0 <х<р, Q<y<q, t> 0
при граничных условиях
u(0,y,t)=0, u{p,y,t)= 0, и(х,0,?)=0, u(x,q,t)= 0
(17)
(18)
III. Уравнение теплопроводности 137
и при начальном условии
u{x,y,t)=q{x,y). (19)
Согласно методу разделения переменных, будем искать частные решения
уравнения (17) в виде произведения
u = T{t)x(x)Y{y)-
тогда для определения функции Х(х), Y(y) и T(t) получим следующие
уравнения:
Х"(х)+Х2х(х)=0, У"(у)+р2У(у)=0, T'(t)+a2{k2 +р2)7'(/)=0, где X2 и р2 -
постоянные.
Общие решения этих уравнений имеют вид:
X = С| cos X х + С2 sin X х, Y = С3 cos р у + С4 sin р у, T(t) = А е~^ +и
)а '. Для выполнения граничных условий (18) следует положить
С, =0, С3 =0, Х = - , р=- (т,п = 1,2,3,...).
Р Ч
Таким образом, частными решениями уравнения (17), удовлетворяющими
граничным условиям (18), будут:
2 Jm2 и2)
-а 71" +- г
г? а1 . тп . ПП
ипт=Атпе КР 9 2 Sin -X Sin - у.
р я
Составим ряд
2 2| 7Я2 И2]
( Л V V 3 Я 71 U2+92J • 2002
4x,y,t)=Z LA,nne J sm----x-sm - y. (20)
m-1 77-1 T2 q
Требуя выполнения начального условия (19), получим / . тп . пп
Ч\Х'У) = Е ЕЛ, И sln - ^'Sm-у-
т-1 /7=1 Р Я
Написанный ряд представляет собой разложение функции ф(х, у) в двойной
ряд Фурье, и коэффициенты Атп определяются, как не трудно видеть, по
формуле
138 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Внося эти значения коэффициентов Атп в ряд (20), получим решение задачи
(17)-(19).
Задачи
1. Дан однородный шар радиуса R с центром в начале координат. Определить
