Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
температуру внутри шара, если:
а) внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре, а
начальная температура зависит только от расстояния от центра шара, т.е.
w|,=0 = H0(r);
б) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен по закону
Ньютона со средой, имеющей нулевую температуру, а и\ г=0 = и0 (г);
в) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен со средой,
имеющей температуру и, = const, а и|г=0 = и0 = const;
г) внутрь шара, начиная с момента t = 0, через его поверхность подается
постоянный тепловой поток плотности q = const, а начальная температура
и\,=0 = и0 = const.
2. Сфера радиуса R содержит растворенное вещество с начальной
концентрацией С0 = const. Концентрация на поверхности сферы
поддерживается постоянной, равной Сг> С0. Найти количество
абсорбированного вещества в момент времени t > 0.
3. Однородное твердое тело ограничено двумя концентрическими сферами с
радиусами R и 2R. Внутренняя поверхность тела непроницаема для тепла.
Шаровой слой нагрет до температуры и0 и затем охлаждается в среде с
нулевой температурой. Найти температуру в точках внутри шарового слоя в
момент времени t > 0.
IV. Теория потенциала
Лекция 18. Уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве. Теорема
максимума. Фундаментальное решение. Формула Грина. Потенциалы объема,
простого слоя и двойного слоя
Целый ряд вопросов математической физики сводится к решению тех или иных
уравнений эллиптического типа. Мы займемся простейшими такими
уравнениями: уравнением Лапласа
Ди(х,у,г)=0 (1)
и уравнением Пуассона
А и(х, у, z) = -4 л р(х, у, z). (2)
. д2 д2 д2
Напомним, что А = -- н н .
дх ду2 dz2
Всякая функция, имеющая непрерывные вторые производные и удовлетворяющая
в некоторой области уравнению Лапласа, называется гармонической функцией
в этой области.
Прежде чем переходить к решению задач, связанных с этими уравнениями, мы
изучим некоторые общие свойства, которыми обладают решения этих
уравнений.
140 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§1. Теорема максимума
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Если функция р(х,у, z) положительна в точке М0 (х0, yQ, z0 ),
лежащей внутри области, где определено уравнение (2), то решение этого
уравнения не моэюет достигать минимума в этой точке.
Доказательство: В самом деле, если бы в этой точке функция
и(м), М = м(х, y,z), удовлетворяющая уравнению (2), достигала бы
минимума, то и(м) достигала бы минимума в этой точке по каждому
переменному в отдельности. Но тогда все первые производные от и должны
были бы быть равными нулю в этой точке, а вторые производные по каждому
переменному - неотрицательными. Следовательно, сумма вторых производных
должна была быть также неотрицательной, что противоречит условию
рК)>о.
Лемма доказана.
Следствие. Если р(м) отрицательна в точке М0, то м(м) в этой точке не
может достигать максимума.
Доказывается переменой знака р и и.
Теорема 1. Гармоническая функция, заданная в некоторой области Q и
непрерывная вплоть до границы S, нигде внутри Q не может принимать
значений больших, чем наибольшее ее значение на границе, или меньших, чем
ее значение на границе, т.е.
min и(м) < и(м) < max и(М).
S S
Доказательство. В самом деле, пусть
и(М0) > max и (м) + Б .
.9
IV. Теория потенциала 141
Тогда функция
и(м)=и(м) + ц\ММ0\2, где т| - некоторая положительная постоянная, будет
при достаточно малом т|
принимать в точке М0 значения все еще большее, чем тахи(м).
s
В самом деле, и(м0 ) = и(м0 ) и по предположению
м(ЛТ0) > тахи(м) + е > ^и(м) - г| |МЛТ0|2 j|s + е.
Выбрав г] настолько малым, чтобы иметь во всей области Q
:-г||ММ()|2 >|,
мы получим
и(М0) > max и (м) + г-s 2
Следовательно, и будет достигать максимума где-то внутри области. Но
Аи = 6т|.
Это противоречит лемме 1.
Вторая часть теоремы доказывается заменой и на - и .
Следствие 1. Гармоническая функция, равная нулю на границе некоторой
конечной области, тождественно равна нулю во всей области.
Отсюда вытекает, что две гармонические функции, принимающие одинаковые
значения в точках границы области, совпадают и всюду внутри области.
Следствие 2. Если последовательность функций ип, гармонических в области
Q и непрерывных вплоть до границы, сходится равномерно на гратще S этой
области, то она сходится равномерно во всей замкнутой области.
Это вытекает из того, что разность
\и - и , где щ > N и и2 > N,
142 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
будучи сколь угодно малой на границе при достаточно большом N, будет
малой и внутри. Признак Коши дает нам равномерную сходимость и", во всей
замкнутой области, что и требовалось доказать.
§2. Фундаментальное решение. Формула Грина
Прямым вычислением получаем, что функция
J___________________1_______________
Г л/(х ~хоУ + (У~ У о Y + (z ~ zo У
удовлетворяет уравнению Лапласа
Д- = 0 (3)
г
везде, кроме точки M0(x0,y0,z0), где - обращается в бесконечность.
г
При изучении уравнений эллиптического типа мы часто будем пользоваться
