Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
д2 о(х.,1|) <Эи(х,,1.)
xJ-12 < о, U-12 > о. Учитывая (5), находим:
дх dt
d2u(x1,tl) д2 u(x1,li) ^
Sx2 Sx2
du(xl,tl) 8u(xi,li) , 0
dt dt
Отсюда следует, что
du(xl,tl) л2 g2"(xi,ii)^/:; 0 dt dx2
т.е. уравнение (2) во внутренней точке {x\,t\) не удовлетворяется. Тем
самым доказано, что решение и (х, l) уравнения (2) внутри области не
может
106 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
принимать значений, превосходящих наибольшее значение и (х, t) на границе
(т.е. при t = 0,х = 0,х = I).
§ 3. Теоремы единственности
Обратимся теперь к установлению ряда следствий из принципа максимального
значения. Прежде всего докажем теорему единственности для первой краевой
задачи.
Теорема 2. Если две функции ux{x,t) и u2(x,t), определенные и непрерывные
в области 0 <х<1, 0 <t <Т, удовлетворяют уравнению
теплопроводности
^U- = a1 ^ U/-~(для0<х<1, t> 0), (7)
dt
ox
¦f(x,t)
одинаковым начальным и граничным условиям
и-у (х,0) = м2 (х,0) = ф (х), их (О,t) = u2 (0,?)=р! (t),
"1 (°. О=и2 (о. О=02 (О-
то ux{x,t)=u2(x,t).
Доказательство. Рассмотрим функцию
и(x,i)=u2 (х,?)-М| (x,t).
Функция о(х,г) является решением уравнения теплопроводности (2).
Таким образом, в силу теоремы 1 она достигает своего максимального и
минимального значений или при t = 0, или при х = 0, или при х = /. Однако
по условию мы имеем:
о (х,0) =0, и (О, i)= 0, о (/, t) = 0.
Поэтому
о (x,t)= 0,
III. Уравнение теплопроводности 107
т.е.
Mj (x,t) = u2 (х, l).
Отсюда следует, что решение первой краевой задачи единственно.
Нетрудно доказать справедливость следующих следствий из принципа
максимального значения.
Следствие 1. Если два решения уравнения (7) ых (х, l) и и2 (л\ t)
удовлетворяют условиям
их (х,0)< и2 (х,0), щ (0,l)< и2 (О, l), их (l,t)<u2
то М[ (х, t)<u2 (х, l) для всех значений 0 < х < /, 0 <t <Т.
Следствие 2. Если для двух решений уравнения теплопроводности (7) их (х,
/) и и2 (х, /) имеет место неравенство
\их {x,i)-u2{x,t)|<? для 1 = 0, х = 0, х = /, то \ul(x,i)-u2{x,t)[<z для
всех х, 1, 0 < х < /, 0 < 1 < Т.
Следствие 2 позволяет установить непрерывную зависимость решения первой
краевой задачи от начального и граничных значений.
Теорема 3. Если щ (х, l) и и2 (x,t) - непрерывные, ограниченные во всей
области изменения переменных (x,l) функции, удовлетворяют уравнению (7)
при -со<х<со, 1>0 и условию г/j (х,0) =и2 (х,0) (- сс < х < со), то их
{x,t) = u2 (х, l) (- со < х < со, 1 > О).
Из теоремы 3 вытекает единственность решения задачи Коши для уравнения
теплопроводности в классе ограниченных функций.
Доказательство этой теоремы также основано на принципе максимума.
108 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Лекция 14. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности.
Однородная краевая задача. Функция мгновенного источника. Неоднородное
уравнение теплопроводности. Общая первая краевая задача
§1. Однородная краевая задача
Изучение общей первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на
отрезке:
ди 2 d2u гг \ " . ..
- = а у + /(Щ), 0 <х<1, /> 0, (1)
dt д х
и(х, О) = ф(х), 0 < х < /, (2)
и(0, t)= Pi(f), u(l,t)= \x2(t), t> 0, (3)
мы начнем с решения следующей простейшей задачи.
Найти непрерывное в замкнутой области (0<х</, 0<t<T) решение однородного
уравнения
- = a2^JLy 0 < х < /, 0 <t <Т, (4)
dt дх2
удовлетворяющее начальному условию
и(х,О) = ф(х), 0 < х < / (5)
и однородным граничным условиям
и(0, t) = 0, u(l,t)= 0, 0 <t<T. (6)
Предположим, что решение и(х, t) задачи (4) - (6) можно представить
как сумму ряда Фурье
м(хд) = У ""(^) sin Т71 х> (7)
И=1 I
III. Уравнение теплопроводности 109
который можно почленно дифференцировать дважды по х и один раз по t.
Тогда граничные условия (6) выполнены, а подстановка ряда (7) в (4), (5)
приводит к соотношениям
du"{t) 2Гпп']2 , ч "
dt* \~)
н"0) ~ ЦфО) d J;. - 1.2....
/ о /
из которых определяются коэффициенты un(t):
"(*) = -Лф(фт^ d <уе
l о I
(8)
Выясним теперь, каким требованиям должна удовлетворять функция ф(х),
чтобы ряд (7) с коэффициентами (8) являлся решением исходной задачи (4)-
(6).
Предположим сначала, что ф(х) ограничена, | ф(х) <М и рассмотрим ряды
производных
" d и (t) . 11 л х ? sin----------------------------
п=\ d t I
* /ч Л 71 . пп X
" ?"-(Ч"г s,n~-
Имеем
d и (t) . п п х
^x^-sin------------
d t I
/"ч I n л a ) I / I ' . 11 71 x
"(°) I -7- Iе sm~l
n n a]
J
< I I | u"(0) | e '
и так как
|ия(о)|<2М,
то получаем оценку
110 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
и аналогично
(\ ft *
'Ь
П П ) . п П X
sin----------
<2 М
2 _( ппа | -ппа\ j 1 е 4
для t > t.
Вообще
дШ * пкЛ • п п х
7*7 - sm-
2k+l J nnafj
<2 М \ - 1 -п1Ы-а1к А ' j для t > t.
Исследуем сходимость мажорантного ряда ? ап , где
ап = N па е ' 1 По признаку Даламбера этот ряд сходится, так как
lim
а I п " 1 (2"+l)7
= 0.
п->00 ц->х ^ /7у
Отсюда вытекает возможность почленного дифференцирования ряда (7) любое
число раз в области t > t > 0. Таким образом, функция, определяемая этим
