Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
формулами Грина, являющимися прямым следствием формулы Остроградского.
Формула Остроградского имеет вид
{Jjdiv A dQ = j{А-п ds, (4)
q s
где Q - область, ограниченная достаточно гладкой поверхностью S,
векторное поле A = Pi +Qj + Rk ,
,. д Р д Q д R 7 - п п a d
divA =-----1-----------н--, А-п = Pcosa + ?>cosp + "cosy,
д х д у д z
а a = Zn,x, Р = Zn,y, y = ^n,z-yrnbi внешней нормали п к поверхно-
сти S.
Пусть u(x,y,z) и и(x,y,z)~ функции, непрерывные вместе со своими первыми
производными внутри Q и имеющие непрерывные вторые производные внутри Q.
Полагая
IV. Теория потенциала 143
и пользуясь формулой (4), приходим к так называемой первой формуле Грина
ш" AudQ. = -JJJVm ¦ Vuc/Q + JJm-^-c/s. (5)
Q Q S dn
Меняя местами функции и и и в (5), будем иметь:
О ы
JJJuAmJQ = -JJJVm ¦ Vu dQ. + JJu - d s. (6)
q n s dn
Вычитая из равенства (5) равенство (6), получаем вторую формулу Грина
( ди ди']
Ш(м Л о -и Au)dfl ~ IT и и- d s. (7)
n д п д п J
Лемма 2. Если и е С 2Ш С1 (о), то имеет место формула:
JfJ-Аи dn=\{-^--u^-{^\\ds-Anu{MQ). (8)
nr s\r on On\rJ)
Доказательство. Вырежем из области Q шар К.. радиуса е с
центром в
точке М0 и применим к оставшейся области формулу Грина (7), полу-
( О
чим I и = - I:
JJJ [и л(;) - 7 ¦д:") ¦dn = /(" h f 7] - г S)d's + Iff" i (-) - V ¦s
-<9)
dn\r) rdnj s i, dn\r) r dn
Здесь Ss - сфера радиуса e с центром в точке М0. Далее нетрудно видеть,
что на сфере Se
(11 _ _ А. (11 _ _L _ _L
дп\г) dr\r) г2 е2 '
и, следовательно
\\u-^-{-\ds=-^T-\\uds = Anu, (10)
sF dn{r) e2.J
где и -среднее значение функции и(м) на Se. Интеграл
144 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
(дй\ " -ди
где - - среднее значение нормальной производной - на сфере
ЛЕ.
удпJ дп
Подставляя выражения (10) и (11) в формулу (9) и учитывая, что
аГ - 1 = 0 в
0\КЕ, будем иметь:
- JJJ - А и dO. - JJ п\кг r s
3(1) 1 ди) _ ди,
и - ---------\d s + Али -4яе . (12)
дп\гI гдп [дп
Устремим теперь радиус е к нулю. Тогда получим:
1) lim и = и(М0), так как и(м)- непрерывная функция, а и- ее среднее зна-
с^-0
чение по сфере радиуса е с центром в точке М0;
2) lim 4 л 8 [ Y-14- 1 = 0, так как из непрерывности первых производных
функ-
s->0 \дп)
ции и(м) в Q сразу же вытекает ограниченность нормальной производной в
окрестности точки М0;
3) по определению несобственного интеграла
lim fff -Ли dO = ITf-Ли dQ.
z^0n\Kc r Q r
В результате указанного предельного перехода е->0 в формуле (12) мы
приходим к интегральной формуле Грина (8).
Если точка М0 находится вне области Q, то и = - не имеет особенно-
г
сти во всех точках Q и тогда формула (7) имеет вид
- JJJ-Ли dO= (13)
nr s\ дп\г J гдпJ
Если точка М0 принадлежит поверхности S, то, повторяя выше приведенные
рассуждения, мы в результате приходим к формуле, получающейся из (8) при
замене 4л на 2л.
IV. Теория потенциала Объединяя все случаи, запишем основную формулу
Грина в виде
145
ds, (14)
где
4 п, еслиМ0бО, а = \2 л, если М0 е S, О, если М0 е О.
Часто функцию - = -j г называют фундаментальным решением
г |ММ0|
уравнения Лапласа.
§3. Потенциалы объема, простого слоя и двойного слоя
Если бы нам были известны, из каких-либо соображений, значения
то формула Грина дала бы нам явное представление для неизвестной функции
и:
Однако мы не можем задать произвольно fx и /2, и поэтому формула (15) не
дает возможности строить решение уравнения (2) по произвольным предельным
значениям на границе его самого и его нормальной производной. Мы дадим
особые названия интегралам, стоящим в правой части этой формулы.
Интеграл ш? dO. мы будем называть ньютоновым потенциалом, а о г
функцию р- плотностью этого потенциала. Аналогично, JJ- f2ds мы назо-
д и
и, Дм и -, входящих в формулу Грина (8):
дп
д п
146 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
циалом двойного слоя с плотностью /] .
Ньютонов потенциал имеет очень простой физический смысл. Он является
потенциалом тяготения массы, распределенной с плотность р в объеме Q.
Ту же интерпретацию допускает и потенциал простого слоя. Это есть
потенциал тяготения массы, распределенной с плотностью /2 на поверхности
S.
1. Вычислить объемный потенциал для шара х < R со следующими плотностями:
а) p = p(jx|)eC;
б) р = р0 = const;
в) р = |х|;
г) р = <Tl'v|;
д) р = sin |х|.
2. Для сферного слоя Rl < |х| < R2 вычислить объемный потенциал масс,
распределенных с плотностями:
а) р = р0 = const;
вем потенциалом простого слоя с плотностью
потен-
Задачи
IV. Теория потенциала 147
в)|д = еф, 0<ф<ли р = е2п~ч>, л<ф<2л.
4. Найти потенциал двойного слоя с постоянной плотностью ц0 для сферы
Ы = R.
Лекция 19. Основные свойства гармонических функций.
Теорема о среднем арифметическом. Поведение гармонической функции вблизи
особой точки. Поведение гармонических функций на бесконечности
Основная интегральная формула Грина имеет вид
4 ли(М0), еслиМ0еП,
2 яи(М0), еслиМ0б5, (1)
-JJJ-Aи dn + {/ - - и-( - I I =
п г Лгдп дп\г
О, если М0 е?.
