Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
Дирихле для уравнения Пуассона ставится так: найти решение м(м) уравнения
Дм = р(м), М(,т, у, z)eQ, (1)
непрерывное в замкнутой области Q и принимающее на поверхности S
за-
данные значения
и = /(м), М{х,y,z)e S. (2)
В настоящей лекции мы будем заниматься решением задачи Дирихле
для шара.
§1. Функция Грина задачи Дирихле
Применяя интегральную формулу Грина (см. лекцию 19) к решению и уравнения
Пуассона (1), получим
1 ди д j 1
г <Эг| <Эг| \г
ds. (3)
Пусть известна функция g(M,M0), обладающая следующими двумя свойствами:
1) как функция переменной точки М она является гармонической внутри
области Q и имеет непрерывные первые производные вплоть до поверхности S;
2) на поверхности S функция g(M, М0 ) принимает гранич-
1
ные значения -.
г
Применяя вторую формулу Грина (см. лекцию 18) к функциям и(м) и g{M,
М()), получим
7" Ш("дг - &Ам)йЮ = ~ JJJgp dQ = -1- Я
п п s
dg ои
и g -
дц дц
ds
IV. Теория потенциала или, в силу граничных значений для функции g{M, М0
),
8g 1 ди
161
Вычитая это равенство из (3), мы найдем
ОТ] Г ОТ]
ds.
ds.
(4)
Положим
<7(М,Ло)=-!- + Х 4 л г 4 л
Эта функция называется функцией Грина задачи Дирихле для уравнения
Пуассона.
Определение. Функцией Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона
называется функция С(М,М0), удовлетворяющая следующим условиям:
1) g(m,m0 ) как функция точки М есть гармоническая внутри
области Q,
исключая точку М0, где она обращается в бесконечность; 2) она
удовле-
творяет граничному условию
G[M,Ma\= 0; (5)
3) в области Q функция G(M, А/0) допускает представление
G(M,M0) = - + (6)
V ' 4nr 4л
где г =|М0М| и g{M,M0)~гармоническая функция везде внутри Q.
Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части g(M,
М0), которая определяется из решения задачи Дирихле для уравнения
Лапласа:
Ag(M,M0)=0, g[M,M0\=-K M0eQ.
С помощью функции Грина решение внутренней задачи Дирихле (если оно
существует) дается формулой, согласно (2), (4), (6):
и(м0)=- [fjp (m)g(m, м0 >/q - \\/{м)4-с:,(м. м0 )ds.
?2 s ОГ|
(V)
162 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
При выводе формулы (7) мы предполагали существование функции и[м) -
решения внутренней задачи Дирихле с граничными значениями /(м),
непрерывного вместе с первыми производными вплоть до границы S. Таким
образом, не давая доказательства существования решения, формула (7) дает
интегральное представление существующих достаточно гладких решений задачи
Дирихле. Подробное исследование формулы (7), проведенное А.М. Ляпуновым,
показало, что для поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова, она
представляет решение задачи Дирихле при любом выборе непрерывной функции
/(м), входящей в граничное условие, и при условии непрерывной
дифференцируемости правой части р(м).
Используя принцип максимума, нетрудно показать, что функция Грина G{M,
М0) удовлетворяет неравенствам
О <G(M,M0)<-, Me Q. (8)
4 л г
Кроме того, функция Грина симметрична, т.е.
g(m, m0)=g(m0,m).
§2. Решение внутренней задачи Дирихле для шара
Перейдем теперь к решению задачи Дирихле для шара. В этом случае можно
построить функцию Грина в явном виде. Пусть R -радиус шара с центром в
точке 0; возьмем внутри его произвольную точку М0 (х0, yQ, z0 ) и
обозначим через р расстояние этой точки от центра шара (рис. 1).
Подвергнем точку М0 преобразованию инверсии относительно сферы S.
Преобразованная точка М] (х|, j|, zj) будет лежать на прямой ОМ{) вне
шара на расстоянии р, от центра шара, причем
ppi =R2. (9)
IV. Теория потенциала
163
Далее обозначим через г и гх расстояние от точки М соответственно до
точек М0 и Мх. Найдем соотношение между гиг, когда точка М находится на
поверхности шара. Треугольники ОМ0М и ОМхМ подобны, так как они имеют
общий угол при вершине О и стороны, образующие эти углы, пропорциональны
в силу (9). Из подобия треугольников следует, что
г _ р
7Х ~R
ИЛИ
-- - ¦ - = 0 при М е S. (10)
г р Г-у
Покажем теперь, что функция Грина для шара будет иметь следующий
вид:
(11)
Лиг 4л р
Действительно, функция G{M, М0) как функция точки М является
гармонической внутри шара, за исключением точки М0, где она обращается в
бесконечность. На поверхности S шара она обращается в нуль, что следует
из (10). Таким образом, построенная функция удовлетворяет всем условиям,
на-
164 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
лагаемым на функцию Грина задачи Дирихле. Подставляя найденную функцию
Грина в формулу (7), получим
м(М0)=-]- jjjf-- -1 pdD. --1-Яf{M)M- --1 ds. (12)
n\r Pr\J 4rt,s p r, J
Проверим теперь, что формула (12) действительно дает решение задачи
Дирихле для шара.
Докажем сначала, что функция
(13)
4nu{r prj
обращается в нуль на границе и удовлетворяет уравнению Пуассона.
Так как для функции Грина G(M,М0) выполнены неравенства, то интеграл (13)
сходится равномерно в точке М0; следовательно, он представляет собой
непрерывную функцию. Значение ее, если М0 является точкой границы, есть
