Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
Далее рассмотрим неотрицательную гармоническую функцию
\г а
Здесь s- произвольное положительное число, а- радиус шара Ка, г - | ММ о
|.
Построим шар Къ с центром в точке М0, выбрав его радиус Ъ так, чтобы на
его сфере значение и превосходило А, и рассмотрим область Ка 1 Къ.
Функция w непрерывна в замкнутой области b < г < а, и на границе этой
области имеет место неравенство |w| < U. В силу принципа максимального
значения неотрицательная функция U является мажорантой функции w \w\<U(M)
для b<r<a.
Фиксируя произвольную точку М области Ка, не совпадающую с М0, и совершая
предельный переход при е -> 0, получим
ИтС/(м) = 0,
152 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
следовательно, всюду, за исключением, быть может, точки М0
w = 0.
Таким образом, функция и всюду в области Q, за исключением точки М(),
совпадает с функцией U. Полагая м(М0)= С/(М0), мы получим функцию и = U,
гармоническую всюду внутри области Q. Тем самым теорема доказана.
При доказательстве теоремы этого пункта мы предполагали, что функция и
ограничена в окрестности точки М0. Однако те же рассуждения остаются в
силе, если предположить, что функция и в окрестности точки М0
удовлетворяет неравенству
|м(м)| < s(r)-, (6)
г
где е(г) - произвольная функция, стремящася к нулю при г -" 0, т.е. в
окрестности точки М0 функция и{М) растет медленнее, чем -.
г
Итак, если гармоническая функция и(м) в окрестности изолированной
особой точки М0 растет медленнее, чем -, т.е. выполнена оценка (6), то
она
г
ограничена в окрестности этой точки, и можно так определить значения и{М0
), чтобы функция и(М0 ) была гармонической и в самой точке М0.
§3. Поведение гармонической функции на бесконечности
Гармоническая функция и(м) называется регулярной на бесконечности, если
1 Л ди А ди А ди
и\< -, г дх < 2 ' Г ду < 2' Г dz
при достаточно большом г > г0
IV. Теория потенциала
153
Теорема 3. Если функция и{м) гармонична вне некоторой замкнутой по-
верхности S и равномерно стремится к нулю на бесконечности, т.е. суще-
где г - радиус-вектор точки М, то она регулярна на бесконечности.
Доказательство. Совершая преобразование Кельвина
получим, что функция и гармонична всюду внутри поверхности S, в которую
переходит поверхность S при преобразовании обратных радиус-векторов за
исключением начала координат, где она имеет изолированную особую точку.
Из условия (7) следует, что в окрестности начала координат (см. (8)) для
функции и имеет место неравенство
ствует такая функция е(г), что
при г -> оо,
(V)
и(г', 0,ф)= ru(r,Q, ф), гдег' =
(8)
г
где
На основании выводов §2 функция и(г',0, ф) ограничена и гармонична
при г1 < Гц:
при г' < г0',
при г > г0 = -.
г0
В силу гармоничности функции о при г' - 0 можно написать:
154 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики где
г х , , у , , z ,
х = - г, у = - r, z = - г .
г г г
дх' ду' дz'
Отсюда, вычисляя производные --------------,-------------,- и принимая
во внимание ог-
дх дх дх
раниченность первых производных функции и в окрестности точки г' = О,
получаем:
ди
дх
А
< -у при Г ->• сО . г
ди ди
Аналогичные оценки имеют место для производных - и -.
ду dz
Лекция 20. Уравнение Пуассона в пространстве. Ньютонов потенциал
Здесь мы исследуем уравнение Пуассона
Аи =-4np(x,y,z) (1)
в области, которая совпадает со всем пространством.
§1. Теорема единственности
Справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Решение уравнения Пуассона (1) в неограниченном пространстве,
стремящееся к нулю на бесконечности, единственно.
Доказательство. В самом деле, если щ и и2 - два таких решения, то их
разность
и ="! -и2
IV. Теория потенциала
155
есть гармоническая функция, стремящаяся к нулю на бесконечности, а именно
Теперь, применяя теорему 1 лекции 18 к сколь угодно большому шару, видим,
что в любой точке пространства значение гармонической функции сколь мало
в силу (2). Отсюда и вытекает справедливость теоремы.
§2. Построение решения уравнения Пуассона
Переходим теперь к решению уравнения (1) в неограниченном пространстве.
Пусть функция р ('х, у, z) интегрируема и удовлетворяет неравенствам
При выполнении условий (3) решение уравнения (1) легко построить с
стремящееся к нулю на бесконечности. Взяв произвольный объем Q,
ограниченный поверхностью S, мы имеем на основании этой формулы:
Возьмем за объем Q шар радиуса R с центром в начале координат и устремим
R к бесконечности. При этом первое слагаемое правой части (4) будет
стремиться к определенному пределу, так как в силу условий (3) объемный
интеграл сходится. Сумма двух других слагаемых представляет собой
и!
l(x,y,z)|<s(^),
(2)
если г > 1,
(3)
|p(x,y,z)| < А, если г <1,
где
и а > 0.
помощью интегральной формулы Грина. Пусть u(x0,y0,z0)~решение (1),
где г - расстояние между точкой М (х, у, z) и точкой М0 (х0, у 0, z0).
156 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики некоторую
гармоническую функцию. Мы покажем далее, что предел первого слагаемого
