Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
рядом, удовлетворяет уравнению (4). В силу произвольности t это имеет
место для всех t > 0.
Пусть теперь функция ф(х) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную
производную и удовлетворяет условиям ф(о)= 0, ф(/) = 0 .
Тогда ряд из мо-
дулей коэффициентов Фурье функции ф(х) сходится, т.е.
ОС
Х|и"(0)|<+сс,
и поэтому в силу неравенства п п х
-(О
/
<|ми(0)| (при t > 0, 0 <х<7)
сразу же следует равномерная сходимость ряда (7) при t > 0, 0 < х < /.
Следовательно, ряд (7) определяет непрерывную функцию при t > 0.
III. Уравнение теплопроводности 111
Итак, задача нахождения решения первой краевой задачи для однородного
уравнения с нулевыми граничными условиями и непрерывным, кусочно-гладким
начальным условием решена полностью.
§2. Функция мгновенного источника
Преобразуем полученное решение (7), заменяя un(t) их значениями (8): 2'
/7=1 "О *
ппа
I
. П Л т
•Sin xdx =
I
= 1
2" ' / /7=1
. п Л . п Л г
sin xsm с
I I
Ф{t)d t,.
Изменение порядков суммирования и интегрирования всегда законно при t > 0
в силу того, что ряд в скобках сходится равномерно по <; при t > 0.
Обозначим
G(x,S,t) = -Ze
/ /7=1
ппа
I
1 . пп х . п тг ? sin sin .
Пользуясь функцией G(x,^,/), можно представить функцию u(x,t) в виде
/
u{x,t)= jG(x,?,f)cp(?)<^. (9)
о
Функция G(x, /) называется функцией мгновенного точечного источника.
Покажем, что функция источника G(x,^,/), рассматриваемая как функция х,
представляет распределение температуры в стержне 0 < х < / в момент
времени t, если температура в начальный момент t = 0 равна нулю и в этот
момент в точке х = <; мгновенно выделяется количество тепла Q = с р, а на
краях стержня все время поддерживается нулевая температура.
Пусть функция фЕ (х), равная нулю вне интервала (?,-?,?, + е), а внутри
этого интервала положительная и непрерывно-дифференцируемая, задает
начальное распределение температуры в стержне. Тогда количество тепла,
112 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики вызвавшее
изменение температуры на величину фе(х), вычисляется по формуле
!;+с
0 = cp Jq>6fe)rfS, (10)
а сам процесс распространения температуры в этом случае определяется
формулой (9):
us(x,t) = (11)
о
Совершим теперь предельный переход при г -> 0. Принимая во внимание
непрерывность G при t > 0 и равенство (10) и применяя теорему о среднем
значении при фиксированных значениях х, t, формулу (11) представим так
ue(x,t)= Jg(x,^)<ps(^)c/^ = g(x,^\/) j <pe(^)fi^ = G(x^*,l)-^-,
q-c q-c C P
где ^ e (^ - s, ^ + s). Теперь в силу непрерывности функции G(x, ^,i) по
^ при t > 0 получаем:
lim и" (х, t) = -Я- gL = -Q-l ?;
с->0 ср \ / С р / "=1
17 71 (7
М . иях . и я ? е к ' sin sin------------------
р \ / ср
Отсюда следует, что G(x,^,t) представляет температуру в точке х в момент
t, вызванную действием мгновенного точечного источника мощности Q = с р,
помещенного в момент t = 0 в точке ^ промежутка (0, /).
§3. Неоднородное уравнение теплопроводности
Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности
/М (12)
ди 2 8 и - = а -- dt дх2
с начальным условием
(х,0) = 0
(13)
III. Уравнение теплопроводности 113
и граничными условиями
и(0,/)=0, u(l,t)= 0. (14)
Будем искать решение этой задачи u(pc,t) в виде ряда Фурье по функ-
Г . п п циям < sm х
и(х,/) = X иД/) sin х, (15)
п=\ I
считая при этом / параметром. Для нахождения u{x,t) надо определить
функции un{t). Представим функцию f{x,t) в виде ряда
п л
f(x,t)= Xf"(t) sin -х, (16)
/7=1 /
где
/"(О = 7 •№ О sinJ ^.
/ о I
Подставляя функции (15), (16) в исходное уравнение (12), будем иметь
X
/7=1
\2
ппа)
dujt)
j ^7-/.w
. пп
sin х = 0.
1
Это уравнение будет удовлетворено, если все коэффициенты разложения равны
нулю, т.е.
(17)
Пользуясь начальным условием для и(х, /)
м(х,0) = X ми(О) sin ^^х = 0,
и=1 /
получаем начальное условие для un{t):
и"( 0)=0. (18)
Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (17) с нулевым начальным
условием (18), находим:
114 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Подставляя выражения (19) для м"(?) в формулу (15), получим решение ис-
ходной задачи в виде
X
О
/"00 ^
. п л
sm х.
/
(20)
И, наконец, воспользовавшись выражением (16) для /"(f), найденное решение
(20) можно представить с помощью функции точечного источника G(x, ?)
следующим образом
11
(х, t) = J JG(x, t - т) /(^, т) d д, d т. 00
§4. Общая первая краевая задача
Рассмотрим общую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности (1)
- (3). Введем новую неизвестную функцию о(х/)
u(x, t) = м(х, t)-U (х, t), представляющую отклонение от некоторой
известной функции U(x,t).
Эта функция о(х,?) будет определяться как решение уравнения
So
dt
Э2о
Эх2
+ /(*/)¦
dU
dt
d2U
дх2
ф(х) = ф(х) - U(x,О),
с дополнительными условиями о(х,0) = ф(х), и((),/)-/,(/) о(/,?)=р2(?),
Выберем вспомогательную функцию U(x,t) таким образом, чтобы Й1 (0=0 и
р2(?)=о,
для чего достаточно положить
и{х, t) = Pi (?) + Г [ц2 (?) - Pi (?)] .
III. Уравнение теплопроводности 115
